\documentclass[12pt]{article}
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% Style
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\titleformat{\section}
{\color{purple}\Large\bfseries\fontfamily{phv}\selectfont}
{\thesection}{1em}{}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\chap[num={02},pos=right,color=purple]{Notations \& vocabulaire mathématiques}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Notations et vocabulaire mathématiques (chapitre 1)
\item Notions de base de géométrie euclidienne de collège
\item Théorème de Pythagore
\item Théorème des milieux
\end{prerequis}

\newpage

\begin{pasbox}[degrade,pluriel,style=defi,name={Repère orthonormé}]
Soient O, I et J trois points du plan tels que :
\begin{itemize}
\item OI = OJ ;
\item (OI)$\perp$(OJ).
\end{itemize}

Alors, ces trois points définissent un \definmot{repère orthonormé} du plan.

La droite (OI) est appelée l'\definmot{axe des abscisses} et la droite (OJ), l'\definmot{axe des ordonnées} du repère (O,I,J).

Les segments [OI] et [OJ] définissent les \definmot{unités} de chaque axe.

Le point O est appelé l'\definmot{origine} du repère (O,I,J).
\end{pasbox}

Un repère sert, comme son nom l'indique, à repérer des points dans le plan par rapport à l'origine et aux unités utilisées.

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Abscisse, ordonnée et coordonnées}]
On considère que le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,I,J).

Soit M un point quelconque du plan.

Par M, on trace la parallèle à (OJ) ; elle coupe (OI) en X.

Par M, on trace la parallèle à (OI) ; elle coupe (OJ) en Y.

On considère les nombres $x$ et $y$ tels que :
\begin{itemize}
\item OX = $x$OI ;
\item OY = $y$OJ.
\end{itemize}

Alors, $x$ est appelé l'\definmot{abscisse} de M et $y$, son \definmot{ordonnée}.

Le couple \coord{x}{y} représente les \definmot{coordonnées} du point M, et on note : M\coord{x}{y}.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[gray,dashed] (-5,-3) grid (5,3);
\draw (-5,0) -- (5,0);
\draw (0,-3) -- (0,3);
\draw[thick,red] (0,0) -- (1,0) node[below] {I};
\draw[thick,red] (0,0) -- (0,1) node[left] {J};
\node[below left,red] at (0,0) {O};
\draw[<->,blue,thick,>=stealth'] (0,2) node[left] {$y$} -- (4,2) node[above right] {M} -- (4,0) node[below] {$x$};
\fill[blue] (4,2) circle (2pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ici, M\coord{4}{2}. Son abscisse est 4, son ordonnée est 2.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Distance entre deux points}]
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

Dans ce repère, soient A\coord{x_\text{A}}{y_\text{A}} et B\coord{x_\text{B}}{y_\text{B}} deux points quelconques.

Alors, la distance entre A et B est donnée par la formule :
\[
\text{AB}=\sqrt{\left(x_\text{B}-x_\text{A}\right)^2+\left(y_\text{B}-y_\text{A} \right)^2}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (-5,0) -- (5,0);
\draw (0,-3) -- (0,3);
\draw[thick,red] (0,0) -- (1,0) node[below] {I};
\draw[thick,red] (0,0) -- (0,1) node[left] {J};
\node[below left,red] at (0,0) {O};
\draw[blue] (-3,-1.5) -- (4,-1.5) node[below right] {C} -- (4,2) -- cycle;
\draw[<->,thick,>=stealth',dotted] (0,2) node[left] {$y_\text{B}$} -- (4,2) node[above right] {B} -- (4,0) node[below] {$x_\text{B}$};
\draw[<->,thick,>=stealth',dotted] (0,-1.5) node[right] {$y_\text{A}$} -- (-3,-1.5) node[below left] {A} -- (-3,0) node[above] {$x_\text{A}$};
\node[blue,rotate=90,yscale=9,xscale=2] at (2,-1.75) {$\{$};
\node[below,blue] at (2,-1.85) {$x_\text{B}$};
\node[blue,rotate=90,yscale=7,xscale=2] at (-1.5,-1.75) {$\{$};
\node[below,blue] at (-1.75,-1.85) {$-x_\text{A}$};
%
\node[blue,yscale=4.8,xscale=2] at (4.5,1) {$\}$};
\node[right,blue] at (4.75,1) {$y_\text{B}$};
\node[blue,yscale=3.6,xscale=2] at (4.5,-.75) {$\}$};
\node[right,blue] at (4.75,-.75) {$-y_\text{A}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Le repère est orthonormé donc le triangle ABC tracé en bleu est rectangle en C.

Ainsi, d'après le théorème de Pythagore,
\[ \text{AB}^2 = \text{AC}^2+\text{BC}^2.\]
Or, 
\[ \text{AC} = -x_\text{A}+x_\text{B}=x_\text{B}-x_\text{A}\]
et
\[ \text{BC} = y_\text{B}-y_\text{A}.\]
Donc,
\[
\text{AB}^2=\left(x_\text{B}-x_\text{A}\right)^2+\left(y_\text{B}-y_\text{A}\right)^2.
\]
En prenant la racine carrée de chacun des membres de cette dernière égalité, on a :
\[
\text{AB}=\sqrt{\left(x_\text{B}-x_\text{A}\right)^2+\left(y_\text{B}-y_\text{A}\right)^2}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soient A\coord{-3}{2} et B\coord{5}{-7}. Alors, 
\vspace*{-0.6em}
\begin{align*}
\text{AB} &= \sqrt{(5-(-3))^2+(-7-2)^2}\\
& = \sqrt{8^2+(-9)^2}\\
& = \sqrt{145}.
\end{align*}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Coordonnées du milieu d'un segment}]
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

Dans ce repère, soient A\coord{x_\text{A}}{y_\text{A}} et B\coord{x_\text{B}}{y_\text{B}} deux points quelconques.

Soit M\coord{x_\text{M}}{y_\text{M}} le milieu du segment [AB]. Alors,
\[
x_\text{M}=\dfrac{x_\text{A}+x_\text{B}}{2}\qquad\text{et}\qquad y_\text{M}=\dfrac{y_\text{A}+y_\text{B}}{2}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo]
On construit le triangle ABC rectangle en C comme indiqué ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (-5,0) -- (5,0);
\draw (0,-3) -- (0,3);
\draw[thick,red] (0,0) -- (1,0) node[below] {I};
\draw[thick,red] (0,0) -- (0,1) node[left] {J};
\node[below left,red] at (0,0) {O};
\draw[blue] (-3,-1.5) -- (4,-1.5) node[below right] {C} -- (4,0.5) -- cycle;
\draw[<->,thick,>=stealth',dotted] (0,.5) node[left] {$y_\text{B}$} -- (4,.5) node[above right] {B} -- (4,0) node[above right] {$x_\text{B}$};
\draw[<->,thick,>=stealth',dotted] (0,-1.5) node[below left] {$y_\text{A}$} -- (-3,-1.5) node[below left] {A} -- (-3,0) node[above] {$x_\text{A}$};
\draw (-3,-1.5) -- (4,.5);
\draw[dashed,purple] (0.5,-1.5) node[below] {N} -- (0.5,-0.5) node[above] {M} -- (4,-.5) node[right] {P};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On trace la parallèle à (BC) passant par M ; elle coupe [AC] en N.

On trace la parallèle à (AC) passant par M ; elle coupe [BC] en P.

D'après le théorème des milieux, P est le milieu de [BC] et N celui de [AC].

Ainsi, 
\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
\text{AN} & =\dfrac{1}{2}\text{AC}\\
\text{AN}  & = \dfrac{1}{2}\left(x_\text{C}-x_\text{A}\right)\\
\text{AN} & = \dfrac{1}{2}x_\text{C}-\dfrac{1}{2}x_\text{A}
\end{align*}
et donc :
\begin{align*}
x_\text{N} & = x_\text{A}+\text{AN}\\
x_\text{N} & = x_\text{A}+\dfrac{1}{2}x_\text{C}-\dfrac{1}{2}x_\text{A}\\
x_\text{N} & = \dfrac{1}{2}x_\text{A}+\dfrac{1}{2}x_\text{C}\\
x_\text{M}=x_\text{N} &= \dfrac{x_\text{A}+x_\text{B}}{2}\text{ car }x_\text{C}=x_\text{B}.
\end{align*}
\columnbreak
\begin{align*}
\text{PC} & =\dfrac{1}{2}\text{BC}\\
\text{PC}  & = \dfrac{1}{2}\left(y_\text{B}-y_\text{C}\right)\text{ (il faut que PC}\geqslant0)\\
\text{PC} & = \dfrac{1}{2}y_\text{B}-\dfrac{1}{2}y_\text{C}
\end{align*}
et donc :
\begin{align*}
y_\text{P} & = y_\text{C}+\text{PC}\\
y_\text{P} & = y_\text{C}+\dfrac{1}{2}y_\text{B}-\dfrac{1}{2}y_\text{C}\\
y_\text{P} & = \dfrac{1}{2}y_\text{B}+\dfrac{1}{2}y_\text{C}\\
y_\text{M}=y_\text{P} &= \dfrac{y_\text{A}+y_\text{B}}{2}\text{ car }y_\text{C}=y_\text{A}.
\end{align*}
\end{multicols}
\end{pasbox}

\def\titleAlgo{Algorithme : calcul d'une distance et coordonnées d'un milieu} 

\begin{algo}
\begin{algoentries}
xA, yA : les coordonnées du point A\\
xB, yB : les coordonnées du point B\\
d : distance AB\\
xM, yM : coordonnées du milieu de [AB]
\end{algoentries}
\begin{algobody}
Affecter à d la valeur $\sqrt{}$[(xB-xA)$^2$+(yB-yA)$^2$]\\
Affecter à xM la valeur (xA+xB)/2\\
Affecter à yM la valeur (yA+yB)/2
\end{algobody}
\begin{algoend}
Afficher : "La distance AB est égale à : "\\
Afficher d\\
Retour à la ligne\\
Afficher : "les coordonnées du milieu de [AB] sont :"\\
Afficher (xM;yM)
\end{algoend}
\end{algo}
\end{document}	