\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{pas-algo}
\usepackage[everytoc]{pas-cours}
\usepackage{pas-math}
\usepackage[hmargin=2cm,vmargin=1.5cm]{geometry}
\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
\usepackage{multicol,cellspace,tabularx}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tkz-tab}
\setlength{\cellspacetoplimit}{3pt}
\setlength{\cellspacebottomlimit}{3pt}
\usetikzlibrary{matrix}
\begin{document}
\chap[num={03},pos=right,color=purple]{Généralités sur les fonctions}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Notations et vocabulaire mathématiques (chapitre 1)
\item Notion de fonctions (classe de 3\ieme)
\item Factorisation (classe de 3\ieme)
\item \'Equation de la forme $ax+b=0$
\item Inéquation de la forme $ax+b\geqslant0$ ou $ax+b\leqslant0$
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Fonction}]
Une \definmot{fonction} est un processus qui, à un nombre, associe un autre nombre.

Le processus est en général donné par une expression algébrique.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=nota]
Une fonction est notée par une lettre ; en général, on utilise la lettre \og $f$ \fg.

Dans ce cas, le processus est noté comme ceci :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\matrix [matrix of nodes]
{
|(f)| $f$ & : & |(D)| $\mathscr{D}_f$ & $\longrightarrow$ & |(I)| I\\
& & |(x)| \textcolor{blue}{$x$} & |(m)| $\longmapsto$ & |(i)| \textcolor{red}{$f(x)$}\\
};
\draw[<-,>=stealth'] (f.north) to[bend right=30] ($(f.north)+(-2,1)$) node[left] {nom de la fonction};
\draw[<-,>=stealth'] (D.north) to[bend left=30] ($(D.north)+(.5,1)$) node[right] {domaine de définition};
\draw[<-,>=stealth'] (I.north) to[bend left=30] ($(I.north)+(0.5,0.5)$) node[right] {ensemble image};
\draw[<-,>=stealth',blue] (x.south) to[bend left=30] ($(x.south)+(-4,-0.5)$) node[above,text=blue] {\begin {minipage}{5cm}antécédent de $f(x)$ :\\ variable de la fonction\end{minipage}};
\draw[<-,>=stealth',red] (i.south) to[bend right=30] ($(i.south)+(4,-0.5)$) node[above,text=red] {image de $x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ qui donne l'aire d'un carré de c\^oté $x$.

Alors, on peut définir $f$ par : $f(x)=x^2$.

\item On considère la fonction $p$ qui donne le périmètre d'un carré de c\^oté $x$.

Alors, on peut définir $p$ par : $p(x)=4x$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,pluriel,name={Images et antécédents}]
On considère une fonction $f$ et on note $y=f(x)$. Alors,
\begin{itemize}
\item $y$ est \definmot{l'image} de $x$ par la fonction $f$ ;
\item $x$ est \definmot{un antécédent} de $y$ par la fonction $f$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{attention}
Il ne peut y avoir qu'une seule image à un nombre mais il peut y avoir plusieurs antécédents à un nombre.

Par exemple, si $f(x)=x^2$, il existe deux antécédents au nombre 4 : $x=-2$ et $x=2$ car le carré de ces deux nombres est égal à 4.
\end{attention}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Domaine de définition}]
Le \definmot{domaine de définition} d'une fonction $f$ est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ existe.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=nota]
On note généralement le domaine de définition de $f$ par : $\mathscr{D}_f$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x+2}{x-3}$.

On peut calculer $f(x)$ quand le dénominateur n'est pas nul donc on dira que :
\[
\mathscr{D}_f=\{x\in\R\vert x-3 \neq0\}
\]
(Le domaine de définition est l'ensemble des réels $x$ tels que $x-3\neq0$)

Plus simplement, on écrira :
\[ \mathscr{D}_f=\R\setminus\{3\}.\]
(L'ensemble des réels auquel on a enlevé le nombre \og 3 \fg)

On peut aussi l'écrire de la manière suivante :
\[
\mathscr{D}_f=\intervOO{-\infty}{3}\cup\intervOO{3}{+\infty}.
\]
Ici, le symbole \og $\cup$ \fg{} se lit \og union \fg{} et signifie que les deux intervalles \intervOO{-\infty}{3} et \intervOO{3}{+\infty} sont unis pour formés le domaine de définition.

Au niveau du \og 3 \fg, on voit que les crochets sont orientés dans le sens opposé ; cela signifie que le nombre \og 3 \fg{} n'est dans aucun intervalle.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Tableau de valeurs}]
Soit $f$ une fonction. Un \definmot{tableau de valeurs} est un tableau à deux lignes :
\begin{itemize}
\item Sur la première ligne, on met les valeurs de $x$ ;
\item Sur la seconde ligne, on met les valeurs des images de $x$ que l'on a prises.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=x^2+2$. Nous allons construire un tableau de valeurs pour $x=0$, $x=1$, $x=-1$, $x=2$ et $x=-2$.

Il faut donc pour cela calculer $f(-2)$, $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$ et $f(2)$.

\breakbox

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\begin{itemize}
\item $f(-2)=(-2)^2+2=4+2=6$.
\item $f(-1)=(-1)^2+2=1+2=3$.
\item $f(0)=0^2+2=0+2=2$.
\end{itemize}
&
\begin{itemize}
\item $f(2)=2^2+2=4+2=6$.
\item $f(1)=1^2+2=1+2=3$.
\end{itemize}
\end{tabularx}

Le tableau de valeurs est donc :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|*5{Sc|}}
\hline
$\pmb{x}$ & $-2$ & $-1$ & 0 & $1$ & 2\\
\hline
$\pmb{f(x)}$ & 6  & 3 &  2 &  3 &  6\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Courbe représentative}]
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle quelconque \intervFF{a}{b}, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. 

La \definmot{courbe représentative} de la fonction $f$ sur l'intervalle \intervFF{a}{b} est l'ensemble de tous les points de coordonnées \coord{x}{f(x)} pour $x\in\intervFF{a}{b}$ dans un repère.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Quand on utilise un logiciel informatique, ou m\^eme une calculatrice pour construire la courbe représentative d'une fonction, elle utilise un algorithme très simple :

\begin{center}
\begin{minipage}{0.75\linewidth}
\begin{algo}
\begin{algoentries}
a et b sont les bornes de l'intervalle\\
x est une variable réelle\\
d est une variable réelle très petite
\end{algoentries}
\begin{algobody}
On affecte à x la valeur a
\begin{algowhile}{x$\leqslant$b}
On place le point de coordonnée \coord{x}{f(x)}\\
On affecte à x la valeur x+d
\end{algowhile}
\end{algobody}
\end{algo}
\end{minipage}
\end{center}
Par exemple, si on souhaite tracer la courbe représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2+2$ sur l'intervalle \intervFF{-2}{2}, on commence par placer le point de coordonnées \coord{-2}{f(-2)}. Ensuite, on ajoute par exemple 0,01 à $-2$ (on obtient $-1,99$) et on place le point de coordonnées \coord{-1,99}{f(-1,99)}. On ajoute ensuite 0,01 à $-1,99$ (on obtient $-1,98$) et on place le point de coordonnées \coord{-1,98}{f(-1,98)}. On continue ainsi jusqu'à arriver à $x=2$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Voici la courbe représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2+2$ sur \intervFF{-2}{2} :

\medskip

\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[dotted,gray] (-2,0) grid[step=0.5] (2,6);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-3,0) -- (3,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-0.5) -- (0,7);
\foreach \x in {-2,-1,1,2}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\foreach \x in {1,2,3,4,5,6}
{
	\draw[thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left] {\x};
}
\draw[thick,blue] plot[domain=-2:2,samples=100] (\x,{\x*\x+2});
\draw[red,thick,dashed,->,>=stealth'] (1,0) -- (1,3) -- (0,3);
\draw[red,thick,dashed,->,>=stealth'] (2,0) -- (2,6) -- (0,6);
\fill[red] (1,3) circle (2pt);
\fill[red] (2,6) circle (2pt);
\fill[red] (0,2) circle (2pt);
\fill[red] (-1,3) circle (2pt);
\fill[red] (-2,6) circle (2pt);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-7cm}
Pour construire la courbe, on s'aide du tableau de valeurs construit précédemment. On place donc les points de coordonnées \coord{0}{2}, \coord{1}{3}, \coord{2}{6}, puis \coord{-1}{3} et \coord{-2}{6}.

\medskip

Ensuite, on lie les points d'une façon harmonieuse et pas trop rectiligne.
\end{minipage}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem,name={Lecture graphique}]
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[dotted,gray] (-2,0) grid[step=0.5] (2,6);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-3,0) -- (3,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-0.5) -- (0,7);
\foreach \x in {-2,-1,1,2}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\foreach \x in {1,2,3,4,5,6}
{
	\draw[thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left] {\x};
}
\draw[thick,blue] plot[domain=-2:2,samples=100] (\x,{\x*\x+2});
\draw[red,thick,dashed,->,>=stealth'] (1.5,0) node[below] {1,5} -- (1.5,4.25) -- (0,4.25) node[left] {4,25};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-7cm}
\`A l'aide de la courbe représentative de $f$, on peut donner une valeur approchée de l'image de 1,5 par $f$ : $f(1,5)=4,25$.

\medskip

Ensuite, on peut vérifier par le calcul :

\begin{align*}
f(1,5) & =(1,5)^2+2\\
& =\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+2\\
& =\dfrac{9}{4}+\dfrac{8}{4}\\
& =\dfrac{17}{4}\\
& =4,25.
\end{align*}
\end{minipage}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Fonction croissante, fonction décroissante}]
\begin{itemize}
\item Une fonction $f$ est \definmot{croissante} sur un intervalle \intervFF{a}{b} si, pour tous $x_1$ et $x_2$ dans \intervFF{a}{b} tels que $x_1<x_2$, $f(x_1)<f(x_2)$.
\item Une fonction $f$ est \definmot{décroissante} sur un intervalle \intervFF{a}{b} si, pour tous $x_1$ et $x_2$ dans \intervFF{a}{b} tels que $x_1<x_2$, $f(x_1)>f(x_2)$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
D'après la courbe représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2+2$ dessinée précédemment, on peut dire que $f$ est croissante sur \intervFF{0}{2} et décroissante sur \intervFF{-2}{0}.

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[dotted,gray] (-2,0) grid[step=0.5] (2,6);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-3,0) -- (3,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-0.5) -- (0,7);
\foreach \x in {-2,-1,1,2}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\foreach \x in {1,2,3,4,5,6}
{
	\draw[thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left] {\x};
}
\draw[thick,blue] plot[domain=0:2,samples=100] (\x,{\x*\x+2});
\draw[red,thick,dashed,->,>=stealth'] (1.5,0) node[below] {$x_2$} -- (1.5,4.25) -- (0,4.25) node[left] {$f(x_2)$};
\draw[red,thick,dashed,->,>=stealth'] (.5,0) node[below] {$x_1$} -- (.5,2.25) -- (0,2.25) node[left] {$f(x_1)$};
\node[red,yscale=6] at (-1.25,3.25) {$\{$};
\node[left,red] at (-1.5,3.25) {$f(x_1)<f(x_2)$};
\node[red,xscale=4,rotate=90] at (1,-.75) {$\{$};
\node[below,red] at (1,-0.75) {$0<x_1<x_2$};
\end{tikzpicture}

$f$ est croissante sur \intervFF{0}{2}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[dotted,gray] (-2,0) grid[step=0.5] (2,6);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-3,0) -- (3,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-0.5) -- (0,7);
\foreach \x in {-2,-1,1,2}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\foreach \x in {1,2,3,4,5,6}
{
	\draw[thick] (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left] {\x};
}
\draw[thick,blue] plot[domain=-2:0,samples=100] (\x,{\x*\x+2});
\draw[red,thick,dashed,->,>=stealth'] (-1.5,0) node[below] {$x_1$} -- (-1.5,4.25) -- (0,4.25) node[right] {$f(x_1)$};
\draw[red,thick,dashed,->,>=stealth'] (-.5,0) node[below] {$x_2$} -- (-.5,2.25) -- (0,2.25) node[right] {$f(x_2)$};
\node[red,yscale=6] at (1.25,3.25) {$\}$};
\node[right,red] at (1.5,3.25) {$f(x_1)>f(x_2)$};
\node[red,xscale=4,rotate=90] at (-1,-.75) {$\{$};
\node[below,red] at (-1,-0.75) {$x_1<x_2<0$};
\end{tikzpicture}

$f$ est décroissante sur \intervFF{-2}{0}
\end{center}
\end{minipage}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Sens de variation à partir d'une expression}]
On pose $f(x)=x^2+2$ et on cherche les variations de $f$ sur \intervFF{-2}{0}.

On pose alors $x_1<x_2<0$ et on calcule $f(x_1)-f(x_2)$ en mettant le résultat sous la forme factorisée :
\begin{align*}
f(x_1)-f(x_2) & = x_1^2+2-(x_2^2+2)\\
& = x_1^2-x_2^2\\
& = (x_1-x_2)(x_1+x_2)
\end{align*}

On regarde ensuite le signe de chacun des facteurs :

\begin{itemize}
\item $x_1-x_2<0$ car $x_1<x_2$ ;
\item $x_1+x_2<0$ car $x_1<0$ et $x_2<0$ (donc leur somme est négative).
\end{itemize}

Ainsi, le produit est positif (comme produit de deux nombres négatifs), et donc \linebreak $f(x_1)-f(x_2)>0$.

Par conséquent, $f(x_1)>f(x_2)$ donc $f$ est décroissante sur \intervFF{-2}{0}.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Tableau de variations}]
Le \definmot{tableau de variations} d'une fonction $f$ est un tableau dans lequel on met :
\begin{itemize}
\item une flèche qui monte pour dire que $f$ est croissante sur un intervalle ;
\item une flèche qui descend pour dire que $f$ est décroissante sur un intervalle.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Pour $f(x)=x^2+2$, on a :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{node style/.append style = {fill=blue!5}}
\tkzTabInit[color,colorT = blue!5,colorC = blue!20,
colorL = blue!20,colorV = blue!20]{$x$/0.5,$f(x)$/1}{$-2$,0,2}
\tkzTabVar{+/6,-/2,+/6}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Maximum, minimum},pluriel]
\begin{itemize}
\item On dit que $f$ atteint son \definmot{maximum} $M$ sur un intervalle \intervFF{a}{b} si, pour tout réel $x\in\intervFF{a}{b}$, $f(x)\leqslant M$.
\item On dit que $f$ atteint son \definmot{minimum} $m$ sur un intervalle \intervFF{a}{b} si, pour tout réel $x\in\intervFF{a}{b}$, $f(x)\geqslant m$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Sur le tableau de variations précédent, on voit que $f(x)$ est toujours au-dessus de \og 2 \fg{} sur l'intervalle \intervFF{-2}{2}.

Donc, \og 2 \fg{} est le minimum de $f$ sur \intervFF{-2}{2}.

\medskip

De plus, on voit que $f(x)$ est toujours au-dessous de \og 6 \fg{} sur ce m\^eme intervalle.

Donc \og 6 \fg{} est le maximum de $f$ sur \intervFF{-2}{2}.
\end{pasbox}
\end{document}	