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% Style
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{\color{purple}\Large\bfseries\fontfamily{phv}\selectfont}
{\thesection}{1em}{}
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\begin{document}
\chap[num={04},pos=right,color=purple]{Expressions algébriques}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Notion de collèges sur le calcul littéral
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=act,name={Associer une expression algébrique à un problème}]
On considère un carré ABCD tel que $\text{AB}=3$ cm.

Soient M un point de [AB] tel que $\text{AM}=x$ cm et N un point de [AD] tel que $\text{AN}=2x$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (3,0) node[below right] {B} -- (3,3) node[above right] {C} -- (0,3) node[above left] {D} -- cycle;
\filldraw[pattern={north east lines}] (1,0) node[below] {M} -- (0,2) node[left] {N} -- (3,3) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{center}

On souhaite exprimer l'aire du triangle MNC en fonction de $x$.

\begin{enumerate}
\item Quelles valeurs peut prendre $x$ par rapport aux contraintes de la figure ?
\item Montrer que l'aire du triangle AMN est : $x^2$.
\item Montrer que l'aire de DCN est : $\dfrac{3(3-2x)}{2}$.
\item Montrer que l'aire du triangle BMC est : $\dfrac{3(3-x)}{2}$.
\item En déduire l'expression développée de l'aire du triangle MNC.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{enumerate}
\item La première chose à faire dans un tel exercice est de regarder ce que représente l'inconnue.

Ici, M et N doivent appartenir aux segments [AB] et [AD] donc les longueurs AM et AN doivent \^etre comprises entre 0 et 3 cm.

La plus grande longueur étant AN, nous allons raisonner dessus :
\[ 0 \leqslant \text{AN} \leqslant 3\]
donc :
\[ 0 \leqslant 2x \leqslant 3\]
ce qui donne, en divisant chacun des membres de cet encadrement par 2 :
\[ \boxed{0 \leqslant x \leqslant \dfrac{3}{2}}\]

\item L'aire du  triangle AMN, qui est rectangle en A, est :
\[
\dfrac{\text{AM}\times\text{AN}}{2}=\dfrac{x\times 2x}{2}=\dfrac{2x^2}{2}=x^2.
\]

\item L'aire du  triangle DCN, qui est rectangle en D, est :
\[
\dfrac{\text{DC}\times\text{DN}}{2}=\dfrac{3\times(3-2x)}{2}.
\]

\item L'aire du  triangle BMC, qui est rectangle en B, est :
\[
\dfrac{\text{BC}\times\text{BM}}{2}=\dfrac{3\times(3-x)}{2}.
\]

\item L'aire du triangle MNC est égale à l'aire du carré ABCD à laquelle on a enlevé l'aire des triangles non hachurés :
\begin{align*}
& 3\times3-\left(x^2+\dfrac{3(3-2x)}{2}+\dfrac{3(3-x)}{2}\right)\\
=~& 9-\left(x^2+\dfrac{9-6x+9-3x}{2}\right)\\
=~& 9-\left(x^2+9-\dfrac{9}{2}x\right)\\
=~& \boxed{-x^2+\dfrac{9}{2}x}
\end{align*}
\end{enumerate}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth]
Pour associer à un problème une expression algébrique dans le cas où il y a une inconnue,
\begin{enumerate}
\item On doit avant tout regarder ce que représente l'inconnue et délimiter ses valeurs ;

\emph{Dans l'activité précédente, l'inconnue $x$ ne pouvait pas prendre n'importe quelles valeurs car elle désignait une longueur (donc positive ou nulle) et que $2x$ était une longueur qui ne devait pas \^etre plus grande que le c\^oté du carré.}

\item Remarquer un moyen de calculer ce que l'on nous demande ;

\emph{Dans l'activité, il fallait voir la stratégie de calcul qui consistait à considérer la figure comme un puzzle : c'est une stratégie très fréquente !}

\item Exprimer chacune des quantités nécessaires en fonction de l'inconnue à l'aide des formules que l'on conna\^it déjà ;

\emph{Dans l'activité, il fallait avant tout calculer l'aire des trois triangles non hachurés et celle du carré. Ce que l'on doit trouver ne se trouve pas toujours directement ...}
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{minipage}{4.5cm}
\begin{tikzpicture}
\fill[pattern={north east lines}] (0,0) -- (3,0) -- (3,3) -- (2,3) -- (2,1) -- (0,1) -- cycle;
\draw (0,0) node[below left] {A} -- (3,0) node[below right] {B} -- (3,3) node[above right] {C} -- (0,3) node[above left] {D} -- cycle;
\draw (0,1) node[left] {M} -- (2,1) node[above left] {N} -- (2,3) node[above] {P};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-4.5cm}
On souhaite exprimer l'aire de la partie hachurée sachant que $\text{AB}~=~\text{AD}~=~3$ et $\text{AM}=\text{PC}=x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{L'ensemble des valeurs.} Ici, $x$ peut prendre des valeurs comprises entre 0 et 3.

\item \textbf{La stratégie :} on calcule l'aire du carré ABCD puis on enlève celle du carré DPNM.

\item \textbf{Les calculs.}

L'aire de ABCD est égale à $3^2=9$.

Celle de DPNM est : $(3-x)^2$.

Donc, l'aire de la partie hachurée est :
\[ \mathscr{A}=9-(3-x)^2.\]
\end{enumerate}
\end{minipage}
\end{pasbox}

\section*{Quelle forme utiliser ?}

Nous le voyons dans l'exemple précédent, la forme algébrique que nous obtenons peut \^etre sous un forme brute.

Pour la simplifier, nous avons le choix entre la développer ou la factoriser.

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Développer une expression algébrique}]
Pour développer une expression algébrique, on utilise la distributivité vue en collège ou les formules sur les identités remarquables.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Reprenons l'exemple précédent et développons $\mathscr{A}$ à l'aide des identités remarquables :
\begin{align*}
\mathscr{A} & = 9 -(3-x)^2\\
& = 9 - (3^3-2\times3\times x + x^2)\\
& = 9-(9-6x+x^2)\\
& = 9 - 9 - (-6x)- (+x^2)\\
& = 6x-x^2\\
\Aboxed{\mathscr{A} & = -x^2+6x}
\end{align*}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Il est habituel d'ordonner les termes du résultat selon les puissances décroissantes : on mettra donc les $x^3$ avant les $x^2$, qui eux-m\^emes seront mis avant les $x$ et les nombres.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Factoriser une expression algébrique}]
Pour factoriser une expression algébrique, on peut :
\begin{itemize}
\item soit utiliser une identité remarquable quand cela est possible ;
\item soit trouver un facteur commun aux termes.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Reprenons le cas de $\mathscr{A}$ :  on peut mettre en relief une identité remarquable de la forme $a^2-b^2$ avec $a=3$ et $b=(3-x)$ :
\begin{align*}
\mathscr{A}& =3^2-(3-x)^2\\
& = [3-(3-x)][3+(3-x)]\\
& = (3-3+x)(3+3-x)\\
\Aboxed{\mathscr{A} & = x(6-x)}
\end{align*}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
En développant la forme factorisée, on doit obtenir la forme développée précédemment obtenue :
\[ x(6-x)=x\times6-x\times x = 6x-x^2 = -x^2+6x.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Méthode de factorisation avec facteur commun}]
\begin{align*}
A & = (x-2)(5x+3)-(x-2)(4x-7)
\end{align*}

Dans cette expression algébrique, les termes sont :
\[ (x-2)(5x+3)\qquad\text{et}\qquad(x-2)(4x-7).\]
(Rappelons que les termes sont séparés par un \og $+$ \fg{} ou un \og $-$ \fg)

\medskip

Dans chacun des termes, on voit un facteur commun : $(x-2)$; on peut donc écrire :
\[ A = (x-2)[(5x+3)-(4x-7)]\]
On enlève ensuite les parenthèses dans les crochets en faisant attention aux signes qui suivent le signe \og $-$ \fg{}  :
\[ A = (x-2)[5x+3-4x+7]\]
Maintenant, on remplace les crochets par des parenthèses et on effectue les calculs à l'intérieur :
\[ \boxed{A = (x-2)(x+10)}\]
Nous venons d'obtenir la forme factorisée de $A$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Identités remarquables (rappels)}]
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.
\begin{align*}
(a+b)^2 & = a^2+2ab+b^2\\
(a-b)^2 & = a^2-2ab+b^2\\
(a-b)(a+b) & = a^2-b^2
\end{align*}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Méthode de factorisation sans facteur commun}]
\[ B = (x-2)^2-9\]
Dans cette expression, il n'y a pas de facteur commun dans les deux termes. Mais on peut voir \og 9 \fg{} comme étant \og $3^2$ \fg{} pour ainsi faire appara\^itre une identité remarquable de la forme $a^2-b^2$ avec $a=x-2$ et $b=3$. Ainsi, la factorisation de $B$ est (voir page suivante) :
\breakbox
\begin{align*}
B & = (x-2)^2 - 3^2\\
& = [(x-2)-3][(x-2)+3]\\
& = (x-2-3)(x-2+3)\\
\Aboxed{B& = (x-5)(x+1)}
\end{align*}
\end{pasbox}

\medskip

Voici un algorithme pour factoriser :

\medskip

\begin{algo}
\begin{algoentries}
Saisir l'expression algébrique A.
\end{algoentries}
\begin{algobody}
\algoifelse{un facteur commun existe}
{%
On factorise par le facteur commun
}
{%
\algoifelse{on peut faire appara\^itre un facteur commun}
{On le fait appara\^itre puis on factorise}
{%
\algoifelse{on peut faire appara\^itre une identité remarquable de la forme $a^2-b^2$}
{On factorise sous la forme $(a-b)(a+b)$}
{%
\algoifelse{un terme est de la forme $a^2+2ab+b^2$ ou $a^2-2ab+b^2$}
{On factorise ce terme sous la forme $(a+b)^2$ ou\\ $(a-b)^2$ pour faire appara\^itre un facteur commun}
{Ben là, on est fichu ! Pas de factorisation possible ...}
}
}
}
\end{algobody}
\end{algo}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,name={Exemple de factorisation avec $a^2+2ab+b^2$}]
\begin{align}
C & = 9x^2+12x+4-(3x+2)(7x-1)\\
& = (3x)^2+2\times3x\times2+2^2-(3x+2)(7x-1)\label{et1}\\
& = (3x+2)^2-(3x+2)(7x-1)\label{et2}\\
& = \pmb{(3x+2)}(3x+2)-\pmb{(3x+2)}(7x-1)\label{et3}\\
& = \pmb{(3x+2)}[(3x+2)-(7x-1)]\label{et4}\\
& = (3x+2)[3x+2-7x+1]\label{et5}\\
\Aboxed{C& = (3x+2)(-4x+3)}\label{et6}
\end{align}

\textbf{Explications des étapes :}

\begin{itemize}
\item \ref{et1} : on fait appara\^itre l'identité remarquable avec les valeurs de $a$ et $b$.
\item \ref{et2} : on factorise le terme qui correspond à l'identité remarquable.
\item \ref{et3} : on met le carré comme un produit de deux facteurs égaux pour que C soit plus simple à factoriser.
\item \ref{et4} : on factorise par le facteur commun et on met dans les crochets tout ce qui reste en dehors du facteur commun (tout ce qui n'est pas en gras).
\item \ref{et5} : on enlève les parenthèses dans les crochets en faisant attention à changer les signes qui sont derrière le signe \og $-$ \fg{} ici (avec un \og $+$ \fg, on n'aurait pas changé les signes).
\item \ref{et6} : on simplifie ce qu'il y a dans les crochets et on met des parenthèses à la place des crochets.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Polyn\^omes et fractions rationnelles}]
Un \definmot{polyn\^ome} est une somme de termes de la forme $ax^n$, où $a\in\R$ et $n\in\N$. $n$ est alors appelé le \definmot{degré} du polyn\^ome.

Une \definmot{fraction rationnelle} est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polyn\^omes.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item $A=3x^2-5x+2$ est un polyn\^ome de degré 2.
\item $B=-8x^3-1$ est un polyn\^ome de degré 3.
\item $C=\dfrac{8x^3-1}{3x^2-5x+2}$ est une fraction rationnelle.
\item $D=\dfrac{1}{x}$ est une fraction rationnelle.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Transformer une expression rationnelle}]
On souhaite simplifier l'expression :
\[ A = \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x-1}.\]
Pour cela, on va \textbf{réduire au m\^eme dénominateur}, comme pour les fractions avec des nombres.

%\setcounter{equation}{0}

\begin{align}
A & = \dfrac{1\textcolor{red}{\times(x-1)}}{x\textcolor{red}{\times(x-1)}}+\dfrac{2\textcolor{red}{\times x}}{(x-1)\textcolor{red}{\times x}}\label{m1}\\
& = \dfrac{x-1}{x(x-1)}+\dfrac{2x}{x(x-1)}\label{m2}\\
& = \dfrac{x-1+2x}{x(x-1)}\label{m3}\\
\Aboxed{A & = \dfrac{3x-1}{x(x-1)}}\label{m4}
\end{align}

\textbf{Explications :}

\begin{itemize}
\item \ref{m1} : on multiplie la 1\iere{} fraction (en haut et en bas) par \og $(x-1)$ \fg{} (le dénominateur de la 2\ieme{} fraction). 

En m\^eme temps, on multiplie la 2\ieme{} fraction (en haut et en bas) par \og $x$ \fg{} (le dénominateur de la 1\iere).

\item \ref{m2} : on obtient alors deux fractions avec le m\^eme dénominateur.

\item \ref{m3} : comme les deux fractions ont le m\^eme dénominateur, on peut tout mettre sur le m\^eme trait de fraction.

\item \ref{m4} : on simplifie le numérateur pour arriver à l'expression finale.
\end{itemize}
\end{pasbox}
\end{document}	