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% Style
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\begin{document}
\chap[num={05},pos=right,color=purple]{\'Equations}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Expressions algébriques
\item Généralités sur les fonctions
\item Trigonométrie de 3\ieme
\item Résultats de géométrie de collège (aire de triangles, Pythagore, Thalès)
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Rappels de collège sur les équation de la forme $ax+b=0$}]
Soit l'équation :
\begin{equation}
4x+7=0 \tag{E1}\label{eq1}
\end{equation}
Pour résoudre l'équation (\ref{eq1}), on utilise les opérations de base : addition, soustraction, multiplication et division.

\begin{align*}
4x+7=0 & \Leftrightarrow 4x+7\textcolor{red}{-7}=0\textcolor{red}{-7}\\
& \Leftrightarrow 4x=-7\\
& \Leftrightarrow \textcolor{red}{\dfrac{1}{\cancel{4}}\times}\cancel{4}x=-7\textcolor{red}{\times\dfrac{1}{4}}\\
& \Leftrightarrow x=-\dfrac{7}{4}.
\end{align*}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Ensemble solution}]
L'\definmot{ensemble solution} d'une équation est l'ensemble de toutes les valeurs que peut prendre son inconnue.

Il est noté : $\mathscr{S}$ ou, s'il peut y avoir confusion avec plusieurs équations, $\mathscr{S}_{(E)}$ s'il désigne l'ensemble solution d'une équation nommée $(E)$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Dans le cas de l'équation (\ref{eq1}), son ensemble solution est :
\[ \mathscr{S}_{(\ref{eq1})}=\left\{-\frac{7}{4}\right\}.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Rappel sur les équations-produit}]
Soit l'équation :
\begin{equation}
(2x-5)(9+x)=0\tag{E2}\label{eq2}
\end{equation}

Pour résoudre l'équation (\ref{eq2}), on utilise le théorème du produit nul :

\medskip

\og Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul. \fg{} 

\medskip

Ce théorème dit ici que si $(2x-5)(9+x)=0$, alors $2x+5=0$ OU $9+x=0$.

On se ramène donc à la résolution de deux équations de la forme $ax+b=0$, comme l'équation (\ref{eq1}).

\begin{center}
\begin{tabular}{c@{\qquad ou \qquad}c}
$2x-5=0$ & $9+x=0$\\
$x=\dfrac{5}{2}$ & $x=-9$
\end{tabular}
\end{center}

Ainsi,
\[
\mathscr{S}_{(\ref{eq2})}=\left\{-9~;\frac{5}{2} \right\}.
\]
\end{pasbox}

\newpage

\begin{attention}[0.9]
Il existe des équations qui ne peuvent pas se résoudre aussi facilement que les équations (\ref{eq1}) et (\ref{eq2}).

Pour ce genre d'équations, nous utilisons ce que l'on a vu sur les fonctions et plus particulièrement leur représentation graphique pour trouver une valeur approchée de la ou des solutions.
\end{attention}

\vspace*{-2em}
\section*{Résolution graphique d'une équation}
\addcontentsline{toc}{section}{Résolution graphique d'une équation}

Considérons l'équation :
\begin{equation}
x^2-5x+1=0\tag{E3}\label{eq3}
\end{equation}

A priori, nous ne savons pas trouver directement la moindre solution de (\ref{eq3}).

On peut donc considérer la fonction $f$ définie par :
\[
f(x)=x^2-5x+1
\]
et sa représentation graphique $\mathscr{C}$.

Considérer l'équation (\ref{eq3}), c'est considérer l'équation :
\[ f(x)=0.\]
Or, $f(x)$ représente l'image de $x$ par la fonction $f$. Donc, résoudre (\ref{eq3}) revient à chercher s'il existe des valeurs de $x$ telles que $f(x)=0$, autrement dit si $\mathscr{C}$ coupe l'axe des abscisses. En effet, dire que $f(x)=0$ signifie que l'image de $x$ est égale à 0, et donc que le point de $\mathscr{C}$ se trouve sur l'axe des abscisses.

Traçons $\mathscr{C}$ :

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[gray,dotted] (-1,-5) grid (7,7);
\draw[thick,>=stealth',->] (-1,0) -- (7,0);
\draw[thick,>=stealth',->] (0,-5) -- (0,7);
\draw[blue!50!black] plot[domain=-1:6,samples=100] (\x,{\x*\x-5*\x+1}) node[below right] {$\mathscr{C}$};
\node[below left] at (0,0) {O};
\node[below] at (1,0) {1};
\node[left] at (0,1) {1};
\node[above right] at (0.2,0) {$x_1$};
\node[above left] at (4.8,0) {$x_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
On constate ici que $\mathscr{C}$ coupe deux fois l'axe des abscisses.

\medskip

Par conséquent, on peut en conclure que l'équation (\ref{eq3}) admet deux solutions, que nous allons nommer $x_1$ et $x_2$, avec $x_1<x_2$ comme indiqué sur le schéma ci-contre.

\medskip

Si on trace cette courbe sur la calculatrice, à l'aide de plusieurs zooms, on peut donner une valeur approchée de $x_1$ et $x_2$ :
\[ x_1\approx0,21\qquad\text{et}\qquad x_2\approx4,8.\]
\end{minipage}

\newpage

\section*{Résolution algorithmique d'une équation}

La résolution graphique peut convenir à certains élèves car elle est facile. Cependant, elle est peu précise et dans certains cas, nous aurons besoin d'une valeur approchée des solutions d'une équation à plus d'un chiffre après la virgule.

\medskip

Pour cela, nous allons utiliser l'algorithme suivant qui s'utilise quand on conna\^it un intervalle dans lequel est une solution.

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Algorithme de dichotomie}]
\begin{enumerate}
\item On pose $f(x)=0$ notre équation.
\item On sait qu'une solution $x_1$ est dans l'intervalle \intervFF{a}{b}.
\item\label{algoEntree} On entre une valeur de $n$ qui désignera le nombre de chiffres après la virgule que l'on veut dans la valeur approchée de $x_1$.
\item\label{algoMilieu} Si $b-a\geqslant10^{-n}$, on calcule $m=\dfrac{a+b}{2}$ le milieu de l'intervalle \intervFF{a}{b}.

Sinon, on va en \ref{algoAfficheSol}.
\item \label{algotest}
\begin{enumerate}
\item\label{algotest1} Si $f(m)$ et $f(b)$ ont le m\^eme signe, alors cela veut dire que $x_1\in\intervFF{a}{m}$. Dans ce cas, on pose $b=m$ et on revient en \ref{algoMilieu}.
\item\label{algotest2} Si $f(m)$ et $f(b)$ n'ont pas le m\^eme signe, cela signifie que $x_1\in\intervFF{m}{b}$. Dans ce cas, on pose $a=m$ et on revient en \ref{algoMilieu}.
\item Si $f(m)=0$, alors on arr\^ete l'algorithme et on affiche $x_1=m$.
\end{enumerate}
\item\label{algoAfficheSol} On affiche l'encadrement : $a<x_1<b$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

Voyons ce que cet algorithme donne, pas à pas, avec l'équation (\ref{eq3}) sur l'intervalle \intervFF{0}{1} (on a vu précédemment que $x_1\in\intervFF{0}{1}$).

Nous allons prendre $n=2$ (on veut une valeur approchée de $x_1$ à 2 chiffres après la virgule). Cela correspond au point \ref{algoEntree} de notre algorithme.

\medskip

Le point \ref{algoMilieu} nous demande de calculer le milieu de \intervFF{0}{1} : on trouve $m=\frac{1}{2}$.

Nous avons fait un zoom sur l'intervalle \intervFF{0}{1} afin de mieux comprendre ce qui se passe :

\bigskip

\begin{tabular}{m{5cm}m{\dimexpr\linewidth-5.1cm}}
\begin{tikzpicture}[xscale=3,yscale=0.8]
\draw[thick,->,>=stealth'] (-0.2,0) -- (1.2,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-3.5) -- (0,1.2);
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=-0.05:1.05,samples=100] (\x,{\x*\x-5*\x+1});
\draw[thick] (1,0.03) -- (1,-0.03) node[below] {1};
\draw[thick,red] (0.5,0.13) -- (0.5,-0.13) node[below] {0,5};
\draw[thick,dotted,red] (0.5,0) -- (0.5,{0.25-5*0.5+1}) -- (0,{0.25-5*0.5+1}) node[left] {$f(0,5)$};
\draw[thick,dotted] (1,0) -- (1,-3) -- (0,-3) node[left] {$f(1)$};
\end{tikzpicture}
&
Pour cette première étape, on voit que $f(0,5)$ et $f(1)$ ont le m\^eme signe (ils sont négatifs).\newline\newline Donc on est au point \ref{algotest}\ref{algotest1}\newline\newline
Ainsi, on pose $b=m=0,5$, ce qui signifie que l'on va refaire tout ça sur l'intervalle \intervFF{0}{0,5}.
\end{tabular}

\newpage

\begin{tabular}{m{5cm}m{\dimexpr\linewidth-5.1cm}}
\begin{tikzpicture}[xscale=6,yscale=1.6]
\draw[thick,->,>=stealth'] (-0.1,0) -- (0.6,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-1.5) -- (0,1.2);
% courbe
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=-0.05:0.5,samples=100] 
(\x,{\x*\x-5*\x+1});
% graduations
\draw[thick] (0.5,0.06) -- (0.5,-0.06) node[below] {0,5};
\draw[thick,red] (0.25,0.06) -- (0.25,-0.06) node[above] {0,25};
% pointillés
\draw[thick,dotted,red] (0.25,0) -- (0.25,{0.25*0.25-5*0.25+1}) -- (0,{0.25*0.25-5*0.25+1}) node[left] {$f(0,25)$};
\draw[thick,dotted] (0.5,0) -- (0.5,{0.25-5*0.5+1}) -- (0,{0.25-5*0.5+1}) node[left] {$f(0,5)$};
\end{tikzpicture}
&
Pour cette deuxième étape, $b-a=0,5\geqslant10^{-2}$ donc on calcule le milieu de l'intervalle : $m=\frac{0+0,5}{2}=0,25$. On voit que $f(0,25)$ et $f(0,5)$ ont le m\^eme signe (ils sont négatifs).\newline\newline Donc on est au point \ref{algotest}\ref{algotest1}\newline\newline
Ainsi, on pose $b=m=0,25$, ce qui signifie que l'on va refaire tout ça sur l'intervalle \intervFF{0}{0,25}.
\\
&
\\
\begin{tikzpicture}[xscale=12,yscale=1.6]
\draw[thick,->,>=stealth'] (-0.1,0) -- (0.250,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-.5) -- (0,1.2);
% courbe
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=-0.05:0.25,samples=100] 
(\x,{\x*\x-5*\x+1});
% graduations
\draw[thick] (0.25,0.06) -- (0.25,-0.06) node[below] {0,25};
\draw[thick,red] (0.125,0.06) -- (0.125,-0.06) node[below] {0,125};
% pointillés
\draw[thick,dotted,red] (0.125,0) -- (0.125,{0.125*0.125-5*0.125+1}) -- (0,{0.125*0.125-5*0.125+1}) node[left] {$f(0,125)$};
\draw[thick,dotted] (0.25,0) -- (0.25,{0.25*0.25-5*0.25+1}) -- (0,{0.25*0.25-5*0.25+1}) node[left] {$f(0,25)$};
\end{tikzpicture}
&
Pour cette troisième étape, $b-a=0,25\geqslant10^{-2}$ donc on calcule le milieu de l'intervalle : $m=\frac{0+0,25}{2}=0,125$. On voit que $f(0,125)$ et $f(0,25)$ n'ont le m\^eme signe.\newline\newline Donc on est au point \ref{algotest}\ref{algotest2}\newline\newline
Ainsi, on pose $a=m=0,125$, ce qui signifie que l'on va refaire tout ça sur l'intervalle \intervFF{0,125}{0,25}.
\\
&
\\
\begin{tikzpicture}[xscale=12,yscale=1.6]
\draw[thick,->,>=stealth'] (-0.1,0) -- (0.250,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-.5) -- (0,1.2);
% courbe
\draw[thick,blue!50!black] plot[domain=-0.05:0.25,samples=100] 
(\x,{\x*\x-5*\x+1});
% graduations
\draw[thick] (0.25,0.06) -- (0.25,-0.06) node[below] {0,25};
\draw[thick,red] (0.125,0.06) -- (0.125,-0.06) node[below] {0,125};
% pointillés
\draw[thick,dotted,red] (0.125,0) -- (0.125,{0.125*0.125-5*0.125+1}) -- (0,{0.125*0.125-5*0.125+1}) node[left] {$f(0,125)$};
\draw[thick,dotted] (0.25,0) -- (0.25,{0.25*0.25-5*0.25+1}) -- (0,{0.25*0.25-5*0.25+1}) node[left] {$f(0,25)$};
\draw[thick,dotted,green!50!black] (0.1875,0) -- (0.1875,{0.1875*0.1875-5*0.1875+1}) -- (0,{0.1875*0.1875-5*0.1875+1}) node[left] {$f(0,1825)$};
\end{tikzpicture}
&
Pour cette quatrième étape, $b-a=0,125\geqslant10^{-2}$ donc on calcule le milieu de l'intervalle : $m=\frac{0,125+0,25}{2}=0,1875$. On voit que $f(0,1875)$ et $f(0,25)$ n'ont le m\^eme signe.\newline\newline Donc on est au point \ref{algotest}\ref{algotest2}\newline\newline
Ainsi, on pose $a=m=0,1875$, ce qui signifie que l'on va refaire tout ça sur l'intervalle \intervFF{0,1875}{0,25}.
\\
&
\\
&
\`A la cinquième étape, $b-a=0,0625\geqslant10^{-2}$ donc on calcule : $m=\frac{0,1875+0,25}{2}=0,21875$.
\newline\newline
$f(0,21875)\approx-0,046<0$ et $f(0,25)<0$. Ainsi, on se trouve dans le cas du \ref{algotest}\ref{algotest1}, donc on pose $b=m=0,21875$ et on retourne en \ref{algoMilieu} en se plaçant dans l'intervalle \intervFF{0,1875}{0,21875}.
\\
&
\\
&
\`A la sixième étape, on a $b-a=0,21875-0,1875=0,03125\geqslant10^{-2}$ donc on calcule $m=\frac{0,1875+0,21875}{2}=0,203125$.\newline\newline
$f(0,203125)\approx0,026>0$ et $f(0,21875)<0$ donc on est dans le cas \ref{algotest}\ref{algotest2} On pose alors $a=m=0,203125$ et on retourne en \ref{algoMilieu}.
\\
&
\\
&
\`A la septième étape, $b-a=0,21875-0,203125=0,015625\geqslant10^{-2}$ donc on calcule $m=\frac{0,203125+0,21875}{2}=0,2109375$.
\newline\newline
$f(0,2109375)\approx-0,01<0$ et $f(0,21875)<0$ donc on est dans le cas \ref{algotest}\ref{algotest1} On pose donc $b=m=0,2109375$ et on retourne en \ref{algoMilieu}.
\\
& \` La huitième étape, $b-a=0,2109375-0,203125\approx0,0078<10^{-2}$ donc on arr\^ete l'algorithme et on affiche l'encadrement :\newline $0,203125<x_1<0,2109375$.
\end{tabular}

\newpage

\subsection*{L'algorithme de dichotomie sous Algobox}
\addcontentsline{toc}{section}{L'algorithme sous Algobox}

\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     a EST_DU_TYPE NOMBRE
3     b EST_DU_TYPE NOMBRE
4     k EST_DU_TYPE NOMBRE
5     n EST_DU_TYPE NOMBRE
6   DEBUT_ALGORITHME
7     LIRE a
8     LIRE b
9     LIRE k
10    LIRE n
11    SI (F1(a)*F1(b)>0) ALORS
12      DEBUT_SI
13      AFFICHER "L'intervalle n'est pas judicieux."
14      FIN_SI
15      SINON
16        DEBUT_SINON
17        TANT_QUE (abs(b-a)>pow(10,-n)) FAIRE
18          DEBUT_TANT_QUE
19          SI ((F1(a)-k)*(F1((a+b)/2)-k)<0) ALORS
20            DEBUT_SI
21            b PREND_LA_VALEUR (a+b)/2
22            FIN_SI
23            SINON
24              DEBUT_SINON
25              a PREND_LA_VALEUR (a+b)/2
26              FIN_SINON
27          FIN_TANT_QUE
28        AFFICHER "La solution est comprise entre "
29        AFFICHER a
30        AFFICHER " et "
31        AFFICHER b
32        FIN_SINON
33  FIN_ALGORITHME
\end{verbatim}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
L'algorithme ci-dessus permet de trouver un encadrement d'une solution à l'équation\linebreak $f(x)=k$.

En choisissant $f(x)=x^2-5x+1$, $k=0$, $n=5$, $a=0$ et $b=1$, Algobox nous donne l'encadrement :
\[ 0,20870972<x_1<0,20871735\;,\]
ce qui nous permet de dire qu'une valeur approchée de $x_1$ à $10^{-5}$ près est 0,20871.
\end{pasbox}

\subsection*{Algorithme de dichotomie sur CASIO et TI}

Pour CASIO Graph 35+ : \href{http://www.casio-education.fr/calculatrice_casio_documents/exercices/graph35_Plus/Dichotomie_.pdf}{Cliquer ici}.\qquad 
Pour la TI : \href{http://education.ti.com/sites/FRANCE/downloads/pdf/82-83equation_dichotomie.pdf}{Cliquer ici}.

\section*{Mise en équation de problèmes}

On considère un triangle équilatéral ABC, puis deux points M (sur [AB]) et N (sur [BC]) tels que AM et BN soient égales.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,0);
\coordinate (C) at (60:5cm);
\coordinate (M) at ($0.2*(A)+0.8*(B)$);
\coordinate (N) at ($0.2*(B)+0.8*(C)$);
\draw (A) node[below left] {A} -- (B) node[below right] {B} -- (C) node[above] {C} -- cycle;
\filldraw[pattern={north east lines}] (A) -- (M) node[below] {M} -- (N) node[above right] {N} -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{center}

Quelle est la position du point M afin que l'aire de AMN soit égale à la moitié de celle de ABC ?

\paragraph*{Aide :} $\sin60\degres=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Mise en équation de problèmes}]
Chercher une valeur numérique afin qu'une condition soit remplie revient à résoudre une équation. Il faut donc trouver cette équation en analysant le contexte du problème.

\begin{enumerate}
\item Quelle condition doit-\^etre remplie ?
\item Sur quelles notions mathématiques portent les condition ?
\item Exprimer de façon algébrique les entités qui interviennent dans la condition.
\item Poser l'équation.
\item Résoudre l'équation.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{pasbox}

Dans notre problème, nous avons : 

\begin{enumerate}
\item La condition qui doit \^etre remplie est : l'aire de AMN est égale à la moitié de l'aire de ABC.
\item Les notions mathématiques sur lesquelles porte la condition sont : les aires de triangles.
\item Les entités qui interviennent sont : $\mathscr{A}_{ABC}$ (l'aire du triangle ABC) et $\mathscr{A}_{AMN}$ (l'aire de MAN).

\medskip

Posons $AM=BN=x$ et $AB=BC=CA=a$.

\begin{itemize}
\item $\mathscr{A}_{ABC}=\dfrac{AB\times CH}{2}$, où $H$ est le pied de la hauteur issue de $C$.

$AHC$ est rectangle en H donc $\sin\angle{HAC}=\dfrac{CH}{AC}$. Ainsi, $CH=AC\times\sin\angle{HAC}=a\times\sin60\degres$, soit $CH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

On a donc : $\mathscr{A}_{ABC}=\dfrac{a\times\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

\item $\mathscr{A}_{ABN}=\dfrac{AM\times NI}{2}$, où $I$ est le pied de la hauteur du triangle AMN issue du sommet N.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,0);
\coordinate (C) at (60:5cm);
\coordinate (M) at ($0.2*(A)+0.8*(B)$);
\coordinate (N) at ($0.2*(B)+0.8*(C)$);
\draw (A) node[below left] {A} -- (B) node[below right] {B} -- (C) node[above] {C} -- cycle;
\draw (A) -- (M) node[below] {M} -- (N) node[above right] {N} -- cycle;
\draw[dashed,red] (N) -- ($(N)+(0,-3.5cm)$) node[below] {$I$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Dans le triangle BIN rectangle en I, $\sin\angle{IBN}=\dfrac{IN}{BN}$ donc $IN=BN\times\sin\angle{IBN}$, soit $IN=x\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

On a alors : $\mathscr{A}_{AMN}=\dfrac{x\times x\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{x^2\sqrt{3}}{4}$.
\end{itemize}

\item On pose l'équation ; on veut que :
\[ \mathscr{A}_{AMN}=\dfrac{1}{2}\mathscr{A}_{ABC}\;,\]
soit :
\begin{equation}
\dfrac{x^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}.\tag{E4}\label{eq4}
\end{equation}

\item On résout l'équation (\ref{eq4}) :
\begin{align*}
\dfrac{x^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} & \Leftrightarrow x^2\times\cancel{\dfrac{\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{a^2}{2}\times\cancel{\dfrac{\sqrt{3}}{4}}\\
& \Leftrightarrow x^2=\dfrac{a^2}{2}\\
& \Leftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{a^2}{2}}\quad\text{car $x$ est positif (c'est une longueur)}\\
& \Leftrightarrow x=\dfrac{a}{\sqrt{2}}.
\end{align*}

\item Conclusion : afin que l'aire du triangle AMN soit égale à la moitié de celle du triangle ABC, il est nécessaire que $AM=BN=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}$. Ce qui donne la figure page suivante.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,0);
\coordinate (C) at (60:5cm);
\coordinate (M) at ($0.292893219*(A)+0.707106781*(B)$);
\coordinate (N) at ($0.292893219*(B)+0.707106781*(C)$);
\draw (A) node[below left] {A} -- (B) node[below right] {B} -- (C) node[above] {C} -- cycle;
\filldraw[pattern={north east lines}] (A) -- (M) node[below] {M} -- (N) node[above right] {N} -- cycle;
\draw[<->,>=stealth'] ($(A)+(0,-0.7)$) -- ($(M)+(0,-0.7)$) node[midway,below] {$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$};
\draw[<->,>=stealth'] ($(A)+(0,-2.5)$) -- ($(B)+(0,-2.5)$) node[midway,below] {1};
\draw[thick,red] (A) -- (M) node[midway] {\bfseries/};
\draw[thick,red] (B) -- (N) node[midway] {\bfseries/};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection*{Entra\^inement}

Répondez à la m\^eme question que précédemment dans le cas où le triangle ABC est isocèle en C avec $AC=BC=2AB$.

\bigskip

\emph{\'Eléments de réponse (avec les m\^emes notations que précédemment) :}

\begin{itemize}
\item Pour calculer la hauteur de ABC issue de C, on pourra utiliser le théorème de Pythagore et montrer ainsi que $\mathscr{A}_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt{15}}{16}$.

\item Pour calculer NI, on pourra utiliser le théorème de Thalès dans le triangle BCH et montrer que $\mathscr{A}_{AMN}=\dfrac{x^2\sqrt{15}}{8}$.

\item On veillera à trouver que M doit \^etre confondu avec B pour que la condition soit remplie, ce qui est en adéquation avec la propriété de la médiane : \og une médiane d'un triangle coupe celui-ci en deux triangles de m\^eme aire. \fg{} En effet, dans ce cas, N est le milieu de [BC], donc (AN) est une médiane de ABC, ce qui implique que l'aire de ABN est égale à celle de ACN, donc égale à la moitié de celle de ABC.
\end{itemize}
\end{document}	