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% Style
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{\color{purple}\Large\bfseries\fontfamily{phv}\selectfont}
{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}
{\color{violet}\large\bfseries\fontfamily{phv}\selectfont}
{\thesubsection}{1em}{}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%%%%%%%%%%%% Repère

\newcommand{\repere}[4]
{%
\draw[dotted,gray] (#1,#3) grid (#2,#4);
\draw[thick,->,>=stealth'] (#1,0) -- (#2,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,#3) -- (0,#4);
\node[below] at (1,0) {1};
\node[left] at (0,1) {1};
\node[below left] at (0,0) {O};
}

\begin{document}
\chap[num={06},pos=right,color=purple]{Fonctions de référence}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Vocabulaire et notations mathématiques
\item Généralités sur les fonctions
\item Résolution de systèmes linéaires
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Fonctions linéaires (rappels de 3\ieme)}]
Une \definmot{fonction linéaire} est une fonction $f$ de la forme :
\[
\fonction{\R}{\R}{x}{ax}\qquad,\qquad a\in\R*.
\]
Dans un repère, elle est représentée par une droite passant par l'origine. 

\og $a$ \fg{} est appelé le \definmot{coefficient directeur} de cette droite. 
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=2x$. Sa représentation graphique est :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\repere{-3}{3}{-6}{6}
\draw[red] plot[domain=-3:3] (\x,{2*\x});
\draw[thick,blue,->,>=stealth'] (1,2) node[above left] {A} -- (2,2) node[midway,below] {+1};
\draw[thick,blue,->,>=stealth'] (2,2) -- (2,4) node[midway,right] (coef) {+2} node[above left] {B};
\draw[->,>=stealth'] (coef.east) to[bend right=30] ($(coef)+(2,-0.5)$) node[right] (t) {\begin{minipage}{5cm}
Quand on part d'un point A de la droite, si on avance horizontalement d'une unité (+1), pour arriver sur la droite au point B, on monte de 2 unités verticalement (+2) : c'est le coefficient directeur de la droite.\end{minipage}};
\draw[thick,blue] (t.north west) -- (t.south west);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Variations d'une fonction linéaire}]
Soit $f$ une fonction linéaire telle que $f(x)=ax$.

Si $a>0$, alors la fonction est croissante.

Si $a<0$, alors la fonction est décroissante.
\end{pasbox}

\newpage

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Fonction affine (rappels de 3\ieme)}]
Une \definmot{fonction affine} est une fonction $f$ de la forme :
\[
\fonction{\R}{\R}{x}{ax+b}\qquad,\qquad a\in\R*,\ b\in\R*.
\]
Dans un repère, elle est représentée par une droite ne passant pas par l'origine. 

\og $a$ \fg{} est appelé le \definmot{coefficient directeur} de cette droite. et \og $b$ \fg{} est appelé l'\definmot{ordonnée à l'origine}.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=-\dfrac{1}{2}x+2$. Sa représentation graphique est :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\repere{-3}{3}{-1}{4}
\draw[red] plot[domain=-3:3] (\x,{-0.5*\x+2});
\draw[thick,blue,->,>=stealth'] (-2,3) node[below left] {A} -- (-1,3) node[midway,above] {+1};
\draw[thick,blue,->,>=stealth'] (-1,3) -- (-1,2.5) node[midway,right] (coef) {$-\frac{1}{2}$} node[below left] {B};
\draw[->,>=stealth'] (coef.east) to[bend right=20] ($(coef)+(4.5,0.5)$) node[right] (t) {\begin{minipage}{5.5cm}
En partant de A, on avance d'une unité horizontalement et on doit descendre de $\frac{1}{2}$ unité verticalement car $a=-\frac{1}{2}$. \end{minipage}};
\draw[thick,blue] (t.north west) -- (t.south west);
\fill[red] (0,2) circle (1.5pt) node[below left] {2};
\draw[->,>=stealth'] (0,2) to [bend left=20] (4,0.5) node[right] (tt) {\begin{minipage}{5.5cm}
L'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées est l'ordonnée à l'origine $b$.
\end{minipage}};
\draw[purple,thick] (tt.north west) -- (tt.south west);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Variations d'une fonction affine}]
Soit $f$ une fonction linéaire telle que $f(x)=ax+b$.

Si $a>0$, alors la fonction est croissante.

Si $a<0$, alors la fonction est décroissante.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Trouver $a$ et $b$ connaissant deux images.}]
Soit $f$ une fonction affine définie par $f(x)=ax+b$.

On sait que $f(1)=2$ et $f(-1)=-1$. Trouver $a$ et $b$.

\begin{enumerate}
\item $f(1)=2$ signifie (en remplaçant $x$ par 1 dans l'expression de $f(x)$ que :
\[ f(1)=a\times1+b=\fbox{$a+b=2$}.\]

\item $f(-1)=1$ signifie que :
\[ f(-1)=a\times(-1)+b=\fbox{$-a+b=1$}.\]
\end{enumerate}

\breakbox

\begin{enumerate}[start=3]
\item Des deux égalités précédentes (qui doivent \^etre vérifiées en m\^eme temps), on déduit que l'on doit résoudre le système : $\begin{cases}
a+b&=2\\
-a+b&=1
\end{cases}$.

En ajoutant les deux lignes, on a :
\[
a+b+(-a+b)=2+1 \Longleftrightarrow 2b=3 \Longleftrightarrow b=\frac{3}{2}.
\]
En remplaçant $b$ par $\dfrac{3}{2}$ dans la première équation (par exemple), on a :
\[
a+\dfrac{3}{2}=2 \Longleftrightarrow a=2-\frac{3}{2}=\frac{4}{2}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}.
\]
\item Finalement, on trouve :
\[ f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.\]
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Les conditions initiales peuvent \^etre écrites différemment. Par exemple, au lieu de dire que $f(1)=2$, on peut dire :
\begin{itemize}
\item L'image de 1 par la fonction $f$ est 2 ;
\item La droite passe par le point de coordonnées \coord{1}{2}.
\end{itemize}

Il faut donc savoir passer d'une formulation à une autre.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Signe de $ax+b$}]
Le signe de l'expression $ax+b$ est donné par le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sr|Slp{3cm}Scp{3cm}Sr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ &  & $-\frac{b}{a}$ &  & $+\infty$\\
\hline
$ax+b$ &  & signe de $-a$ & $0$ & signe de $a$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\repere{-1}{6}{-2}{3}
\draw[red] plot[domain=-1:6] (\x,{-0.5*\x+2});
\node[red,below] at (4,0) {4};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=-\dfrac{1}{2}x+2$.

On voit sur sa représentation graphique que la droite est au-dessus de l'axe des abscisses avant 4, et en-dessous de l'axe des abscisses après 4, d'où le tableau de signes suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sr|Slp{6mm}Scp{6mm}Sr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ &  & $4$ &  & $+\infty$\\
\hline
$-\frac{1}{2}x+2$ &  & $+$ & $0$ & $-$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{minipage}

\vspace*{5mm}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{tikzpicture}
\repere{-1}{6}{-2}{3}
\draw[red] plot[domain=-1:6] (\x,{0.5*\x-0.5});
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{enumerate}[start=2]
\item $f(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$.

On voit sur sa représentation graphique que la droite est en-dessus de l'axe des abscisses avant 1, et au-dessus de l'axe des abscisses après 1, d'où le tableau de signes suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sr|Slp{6mm}Scp{6mm}Sr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ &  & $1$ &  & $+\infty$\\
\hline
$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ &  & $-$ & $0$ & $+$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={La fonction carré}]
La \definmot{fonction carré} est la fonction $c$ définie par :
\[
\fonction[c]{\R}{\R_+}{x}{x^2}
\]
\end{pasbox}

\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\repere{-2}{2}{-1}{5}
\draw[thick,red] plot[domain=-2:2,samples=100] (\x,{\x*\x}) node[left] {$c$};
\draw[blue,dashed] (1.5,0) node[below,scale=0.75] {$1,5$} -- (1.5,2.25) -- (0,2.25) node[left,scale=0.75] {$(1,5)^2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5cm}
Sa courbe représentative est appelée une \definmot{parabole de sommet O}.

\medskip

Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

\medskip

Le tableau de variation de la fonction carré est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{node style/.append style = {fill=blue!5}}
\tkzTabInit[color,colorT = blue!5,colorC = blue!20,
colorL = blue!20,colorV = blue!20]{$x$/0.5,$x^2$/1}{$-\infty$,0,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/0,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Ranger des carrés}]
Connaissant l'ordre sur deux nombres $a$ et $b$, comment conna\^itre celui sur $a^2$ et $b^2$ ?

\medskip

\begin{enumerate}
\item Premier cas : $a$ et $b$ sont positifs.

Dans ce cas, comme la fonction carré est strictement croissante sur \intervFO{0}{+\infty}, les carrés sont rangés dans le m\^eme ordre :
\[
a<b \Longleftrightarrow a^2<b^2\qquad\text{et}\qquad a>b \Longleftrightarrow a^2>b^2.
\]

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
\repere{-1}{3}{-1}{10}
\draw[thick,red] plot[domain=-1:3,samples=100] (\x,{\x*\x}) node[left] {$c$};
\draw[blue,dashed] (1.5,0) node[below,scale=0.75] {$a$} -- (1.5,2.25) -- (0,2.25) node[left,scale=0.75] {$a^2$};
\draw[blue,dashed] (2.5,0) node[below,scale=0.75] {$b$} -- (2.5,6.25) -- (0,6.25) node[left,scale=0.75] {$b^2$};
\node[draw,blue,rounded corners] at (2,-1.5) {$a<b$};
\node[draw,blue,rounded corners,left] at (-.5,4) {$a^2<b^2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Deuxième cas : $a$ et $b$ sont négatifs.

Dans ce cas, comme la fonction carré est strictement décroissante sur \intervOF{-\infty}{0}, les carrés sont rangés dans l'ordre inverse :
\[
a<b \Longleftrightarrow a^2>b^2\qquad\text{et}\qquad a>b \Longleftrightarrow a^2<b^2.
\]

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
\repere{-3}{1}{-1}{10}
\draw[thick,red] plot[domain=-3:1,samples=100] (\x,{\x*\x}) node[left] {$c$};
\draw[blue,dashed] (-1.5,0) node[below,scale=0.75] {$a$} -- (-1.5,2.25) -- (0,2.25) node[right,scale=0.75] {$a^2$};
\draw[blue,dashed] (-2.5,0) node[below,scale=0.75] {$b$} -- (-2.5,6.25) -- (0,6.25) node[right,scale=0.75] {$b^2$};
\node[draw,blue,rounded corners] at (-2,-1.5) {$a>b$};
\node[draw,blue,rounded corners,right] at (.5,4) {$a^2<b^2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Troisième cas : $a$ et $b$ ne sont pas du m\^eme signe.

Dans ce cas, on ne peut rien affirmer car tout dépend des valeurs de $a$ et $b$.

\emph{Ce cas n'est pas important en classe de Seconde.}
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={La fonction inverse}]
La \definmot{fonction inverse} est la fonction $i$ définie par :
\[
\fonction[i]{\R*}{\R*}{x}{\frac{1}{x}}
\]
\end{pasbox}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\repere{-5}{5}{-5}{5}
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[thick,red] plot[domain=-5:-0.02,samples=100] (\x,{1/\x});
\draw[thick,red] plot[domain=0.02:5,samples=100] (\x,{1/\x}) node[above left] {$i$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

La courbe représentative de la fonction inverse est appelée une \definmot{hyperbole} ; elle est composée de deux \og branches \fg{} situées respectivement dans le quadrant inférieur gauche et le cadran supérieur droit du repère.

\medskip

Elle est symétrique par rapport à l'origine O du repère.

\medskip

Le tableau de variation de la fonction inverse est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{node style/.append style = {fill=blue!5}}
\tkzTabInit[color,colorT = blue!5,colorC = blue!20,
colorL = blue!20,colorV = blue!20]{$x$/0.5,$\dfrac{1}{x}$/1}{$-\infty$,0,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/0,-D+/~/,-/0}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On s'aperçoit que les deux branches se rapprochent de l'axe des abscisses ; on dit que l'axe des abscisses est une \definmot{asymptote} à la courbe. On le précise dans le tableau de variations par les \og 0 \fg{} en $-\infty$ et $+\infty$.

\newpage

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Ranger des inverses}]
Soient $a$ et $b$ deux nombres non nuls de m\^eme signe.

\begin{itemize}
\item Si $a<b$, alors $\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$ ;
\item Si $a>b$, alors $\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}$.
\end{itemize}

Autrement dit, si $a$ et $b$ sont rangés dans un certain ordre, alors leur inverse sont rangés dans le sens contraire.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item Nous savons que $\pi>3$ ; ainsi, $\dfrac{1}{\pi}<\dfrac{1}{3}$.

\item Nous savons que $-9<-5$ donc $-\dfrac{1}{9}>-\dfrac{1}{5}$.
\end{enumerate}
\end{pasbox}
\end{document}	