\documentclass[12pt]{article}
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% Style
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{\color{purple}\Large\bfseries\fontfamily{phv}\selectfont}
{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}
{\color{violet}\large\bfseries\fontfamily{phv}\selectfont}
{\thesubsection}{1em}{}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%%%%%%%%%%%% Repère

\newcommand{\repere}[4]
{%
\draw[dotted,gray] (#1,#3) grid (#2,#4);
\draw[thick,->,>=stealth'] (#1,0) -- (#2,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,#3) -- (0,#4);
\node[below] at (1,0) {1};
\node[left] at (0,1) {1};
\node[below left] at (0,0) {O};
}

\begin{document}
\chap[num={07},pos=right,color=purple]{\'Etude de fonctions}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Vocabulaire et notations mathématiques
\item Généralités sur les fonctions
\item Fonctions de référence
\item \'Equations de la forme $ax+b=0$
\item Notions de symétrie axiale et centrale
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Polyn\^omes de degré 2}]
Un \definmot{polyn\^ome de degré 2} est une fonction de la forme :
\[
\fonction{\R}{\R}{x}{ax^2+bx+c}\qquad,\qquad a\in\R*,\ b\in\R,\ c\in\R.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,pluriel]
Soit $f$ une fonction polyn\^ome de degré 2 définie par : $f(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq0$.

$f$ est représentée dans un repère par une parabole de sommet S d'abscisse $x_S=-\dfrac{b}{2a}$. 

Son sens de variation est donné par les tableaux suivants :

\bigskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\textbf{Si $\pmb{a<0}$ :}

\medskip

\begin{tikzpicture}
\tikzset{node style/.append style = {fill=blue!5}}
\tkzTabInit[%
	color,%
	colorT = blue!5,%
	colorC = blue!20,%
	colorL = blue!20,%
	colorV = blue!20,%
	lgt=3,%
	espcl=2]
	{$x$/0.7,$ax^2+bx+c$/1}
	{$-\infty$,$-\frac{b}{2a}$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}

\medskip

\begin{tikzpicture}
\repere{-3}{5}{-3}{4}
\clip (-3,-3) rectangle (5,4);
\draw[thick,red] plot[domain=-3:5,samples=100] (\x,{-0.5*\x*\x+1.5*\x+2});
\draw[blue,dashed] (1.5,0) node[below] {$-\frac{b}{2a}$} -- (1.5,{-0.5*1.5*1.5+1.5*1.5+2});
\fill[red] (1.5,{-0.5*1.5*1.5+1.5*1.5+2}) circle (1.5pt) node[above] {S};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\textbf{Si $\pmb{a>0}$ :}

\medskip

\begin{tikzpicture}
\tikzset{node style/.append style = {fill=blue!5}}
\tkzTabInit[%
	color,%
	colorT = blue!5,%
	colorC = blue!20,%
	colorL = blue!20,%
	colorV = blue!20,%
	lgt=3,%
	espcl=2]
	{$x$/0.7,$ax^2+bx+c$/1}
	{$-\infty$,$-\frac{b}{2a}$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}

\medskip

\begin{tikzpicture}
\repere{-3}{5}{-3}{4}
\clip (-3,-3) rectangle (5,4);
\draw[thick,red] plot[domain=-3:5,samples=100] (\x,{0.75*\x*\x+\x-2});
\draw[blue,dashed] (-0.667,0) node[above] {$-\frac{b}{2a}$} -- (-0.667,{0.75*(-0.667)*(-0.667)-0.667-2});
\fill[red] (-0.667,{0.75*(-0.667)*(-0.667)-0.667-2}) circle (1.5pt) node[below] {S};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip

La parabole est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=-\dfrac{b}{2a}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soit $f(x)=2x^2-5x+1$.

Cette fonction est représentée par une parabole de sommet S, avec $x_S=-\dfrac{-5}{2\times2}=\dfrac{5}{4}$. 

D'où le tableau de variation suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzset{node style/.append style = {fill=blue!5}}
\tkzTabInit[%
	color,%
	colorT = blue!5,%
	colorC = blue!20,%
	colorL = blue!20,%
	colorV = blue!20,%
	espcl=2]
	{$x$/0.7,$f(x)$/1}
	{$-\infty$,$\frac{5}{4}$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Fonctions homographiques}]
Une \definmot{fonction homographique} est une fonction $f$ définie par :
\[
\fonction{\mathscr{D}_f}{\mathscr{I}_f}{x}{\frac{ax+b}{cx+d}}\qquad,\qquad a\in\R,\ b\in\R,\ c\in\R*,\ d\in\R.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
La fonction $f$ définie par :
\[ f(x)=\dfrac{-3x+7}{2x-1}\]
est une fonction homographique.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Domaine de définition d'une fonction homographique}]
Soit $f$ une fonction homographique définie par :
\[ f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}.\]
Son domaine de définition est :
\[
\mathscr{D}_f=\R\setminus\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Le domaine de définition de la fonction $f$ définie par :
\[ f(x)=\dfrac{-3x+7}{2x-1}\]
est :
\[
\mathscr{D}_f=\R\setminus\left\{\tfrac{1}{2}\right\}=\intervOO{-\infty}{\frac{1}{2}}\cup\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Pour trouver la valeur à exclure de \R, il suffit de résoudre l'équation :
\[ cx+d=0.\]
\end{pasbox}

\newpage

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Représentation graphique d'une fonction homographique}]
Soit $f$ définie par :
\[ f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}.\]
Sa représentation graphique dans un repère est appelée une \definmot{hyperbole} et ressemble à :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick,->,>=stealth'] (-3,0) -- (8,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-5) -- (0,5);
\node[below left] at (0,0) {O};
\clip (-3,-5) rectangle (8,5);
\draw[thick,red] plot[domain=-3:1.95,samples=150] (\x,{(\x-1)/(\x-2)});
\draw[thick,red] plot[domain=2.05:8,samples=150] (\x,{(\x-1)/(\x-2)});
\draw[dashed,blue] (-3,1) -- (8,1) node[below left] {$y=\frac{a}{c}$};
\draw[dashed,blue] (2,-5) node[above right] {$x=-\frac{d}{c}$} -- (2,5);
\node[blue,below right] at (2,1) {$\Omega$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Les droites d'équations respectives $x=-\dfrac{d}{c}$ et $y=\dfrac{a}{c}$ sont appelées \definmot{asymptotes} à la courbe.

\medskip

L'hyperbole est symétrique par rapport au point $\Omega\coord{-\dfrac{d}{c}}{\dfrac{a}{c}}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soit la fonction $f$ définie par :
\[ f(x)=\dfrac{3x-1}{2x+4}.\]

\begin{itemize}
\item \textbf{Domaine de définition.}\vspace*{-1em}
\begin{align*}
2x+4=0 & \Leftrightarrow 2x=-4\\
& \Leftrightarrow x=-\dfrac{4}{2}\\
& \Leftrightarrow x=-2.
\end{align*}
Donc, le domaine de définition de $f$ est :
\[ \mathscr{D}_f=\R\setminus\{-2\}.\]
\end{itemize}
\breakbox
\begin{itemize}
\item \textbf{Asymptotes et centre de symétrie.}

La première asymptote $(\Delta)$ a pour équation : $x=-2$.

La seconde asymptote $\mathcal{D}$ a pour équation : $y=\dfrac{3}{2}$.

\medskip

Ainsi, le centre de symétrie de l'hyperbole est : $\Omega\coord{-2}{\dfrac{3}{2}}$.

\item \textbf{Représentation graphique.}

On peut construire un tableau de valeurs supérieures à la valeur interdite $-2$ :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}}Sc|*5{Sc|}}
\hline
$x$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3\\
\hline
$f(x)$ & $-2$ & $-0,25$ & $\frac{1}{3}$ & $0,625$ & 0,8\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On peut ainsi construire une branche de l'hyperbole et, par symétrie par rapport à $\Omega$, l'autre branche :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
\repere{-13}{7}{-6}{6}
\clip (-13,-6) rectangle (7,6);
\draw[thick,red] plot[domain=-1.95:7,samples=100] (\x,{(3*\x-1)/(2*\x+4)});
\draw[thick,red] plot[domain=-13:-2.05,samples=100] (\x,{(3*\x-1)/(2*\x+4)});
\draw[blue,dashed,thick] (-13,1.5) node[below right] {$\mathcal{D}$} -- (7,1.5);
\draw[blue,dashed,thick] (-2,-6) node[above left] {$\Delta$} -- (-2,6);
\node[blue,below left] at (-2,1.5) {$\Omega$};
\fill[red] (-1,-2) circle (1.5pt);
\fill[red] (-3,5) circle (1.5pt);
\draw[gray,dashed] (-1,-2) -- (-3,5);
%
\fill[red] (1,{1/3}) circle (1.5pt);
\fill[red] (-5,2.6667) circle (1.5pt);
\draw[gray,dashed] (1,{1/3}) -- (-5,2.6667);
%
\fill[red] (3,0.8) circle (1.5pt);
\fill[red] (-7,2.2) circle (1.5pt);
\draw[gray,dashed] (3,0.8) -- (-7,2.2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{pasbox}
\end{document}	