\documentclass[12pt]{article}
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% Style
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\titleformat{\section}
{\color{purple}\Large\bfseries\fontfamily{phv}\selectfont}
{\thesection}{1em}{}
\titleformat{\subsection}
{\color{violet}\large\bfseries\fontfamily{phv}\selectfont}
{\thesubsection}{1em}{}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%%%%%%%% Repère

\newcommand{\repere}[4]{%
\draw[gray,dashed] (#1,#2) grid (#3,#4);
\draw[->] (#1,0) -- (#3,0);
\draw[->] (0,#2) -- (0,#4);
\draw[thick,->,red] (0,0) -- (1,0) node[midway,below] {$\vv{\imath}$};
\draw[thick,->,red] (0,0) -- (0,1) node[midway,left] {$\vv{\jmath}$};
\node[below left] at (0,0) {O};
}

\begin{document}
\chap[num={08},pos=right,color=purple]{Vecteurs}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

%\begin{prerequis}
%\item 
%\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Vecteur}]
Un \definmot{vecteur} représente un déplacement. Il est représenté par une flèche et est défini par :
\begin{itemize}
\item une direction (l'inclinaison de la flèche) ;
\item un sens (du point de départ vers celui d'arrivée) ;
\item une norme (la longueur de la flèche).
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=nota,pluriel,name={Nom d'un vecteur}]
Un vecteur peut \^etre nommé par :
\begin{itemize}
\item une lettre minuscule surmontée d'une flèche horizontale allant de la gauche vers la droite : $\vv{u}$, $\vv{a}$, etc.
\item deux lettres majuscules surmontées d'une flèche horizontale allant de la gauche vers la droite : $\vv{AB}$ désignera le vecteur représentant le déplacement de A vers B.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Un vecteur peut \^etre mis n'importe où.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[->] (0,0) -- (1,2) node[midway,left] {$\vv{u}$};
\draw[->] (3,1) -- (5,0) node[midway,above right] {$\vv{v}$};
\fill (7,0.5) circle (1pt);
\fill (10,1) circle (1pt);
\draw[->] (7,0.5) node[left] {$A$} -- (10,1) node[midway,above left] {$\vv{AB}$} node[right] {$B$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Propriété vectorielle d'un parallélogramme}]
Si $ABCD$ est un parallélogramme, alors $\vv{AB}=\vv{DC}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',scale=0.65]
\draw (0,0) node[below left] {$A$} -- (7,2) node[below right] {$B$} -- (10,5) node[above right] {$C$} -- (3,3) node[above left] {$D$} -- cycle;
\draw[thick,red,->] (0,0) -- (7,2) node[midway,below] {$\vv{AB}$};
\draw[thick,red,->] (3,3) -- (10,5) node[midway,above] {$\vv{DC}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-80mm}
Ici, on voit que les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{DC}$ ont :
\begin{itemize}
\item la m\^eme direction (les droites (AB) et (CD) sont parallèles) ;
\item le m\^eme sens (pour aller de A vers B, on va de gauche à droite, comme pour aller de D à C) ;
\item la m\^eme norme (dans un parallélogramme, les c\^otés opposés ont la m\^eme longueur).
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
On voit intuitivement que deux vecteurs sont égaux s'ils représentent le m\^eme déplacement.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,pluriel,name={Origine et extrémité d'un vecteur}]
L'\definmot{origine} d'un vecteur est le point à partir duquel la flèche part.

L'\definmot{extrémité} d'un vecteur est le point où la flèche arrive.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[->] (0,0) -- (3,2) node[midway,above] {$\vv{u}$};
\draw[red,<-,dashed,thick] (0,0) to[bend left=20] (-1,-1) node[left] {origine de $\vv{u}$};
\draw[blue,<-,dashed,thick] (3,2) to[bend right=20] (4,1) node[right] {extrémité de $\vv{u}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Dans le cas d'un vecteur $\vv{AB}$, \og A \fg{} (la première lettre) représente toujours l'origine et \og B \fg{}  (la seconde lettre) désigne toujours l'extrémité.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Somme de deux vecteurs}]
Soient $\vv{u}$ et $\vv{v}$ deux vecteurs.

On définit le vecteur $\vv{w}=\vv{u}+\vv{v}$ de la façon suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[->] (0,0) -- (3,2) node[midway,above] {$\vv{u}$};
\draw[->] (3,2) -- (5,-1) node[midway,right] {$\vv{v}$};
\draw[->,thick,red] (0,0) -- (5,-1) node[midway,below left] {$\vv{w}=\vv{u}+\vv{v}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem,pluriel]
\begin{itemize}
\item Pour construire la somme de deux vecteurs, on doit les mettre bout-à-bout ; le vecteur somme aura pour origine celle du premier vecteur et pour extrémité celle du second.
\item Pour construire la somme de plusieurs vecteurs, on les met tous bout-à-bout (peu importe l'ordre) et la flèche partant de l'origine du premier vecteur jusqu'à l'extrémité du dernier représentera le vecteur somme.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,name={Somme de plusieurs vecteurs}]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[->] (0,0) -- (2,1) node[midway,above] {$\vv{a}$};
\draw[->] (2,1) -- (3,-1) node[midway,right] {$\vv{b}$};
\draw[->] (3,-1) -- (5,2) node[midway,below] {$\vv{c}$};
\draw[->,red,thick] (0,0) -- (5,2) node[midway,above] {$\vv{u}$};
\node[red,right] at (7,0.5) {$\vv{u}=\vv{a}+\vv{b}+\vv{c}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Relation de Chasles}]
Soient A, B et M trois points quelconques.
\[
\vv{AB}=\vv{A\textcolor{red}{M}}+\vv{\textcolor{red}{M}B}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Cette relation signifie que pour aller d'un point (A) à un autre (B), on peut partir du premier (A), puis passer par un autre (M) avant d'arriver au point final (B).
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[->] (0,0) node[below left] {A} -- (3,2) node[red,above] {M} node[midway,above left] {$\vv{A\textcolor{red}{M}}$};
\draw[->] (3,2) -- (6,-1) node[below right] {B} node[midway,above right] {$\vv{\textcolor{red}{M}B}$};
\draw[->] (0,0) -- (6,-1) node[midway,below] {$\vv{AB}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Vecteur opposé}]
Soit $\vv{u}$ un vecteur quelconque.

On définit le vecteur $-\vv{u}$ comme étant le vecteur ayant :
\begin{itemize}
\item la m\^eme direction que $\vv{u}$ ;
\item le sens contraire de $\vv{u}$ ;
\item la m\^eme norme que $\vv{u}$.
\end{itemize}

Dans le cas d'un vecteur $\vv{AB}$, on a :
\[
-\vv{AB}=\vv{BA}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',scale=0.8]
\draw[->] (0,0) -- (3,2) node[midway,above left] {$\vv{u}$};
\draw[<-] (2,0) -- (5,2) node[midway,below right] {$-\vv{u}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Vecteur nul}]
On définit le \definmot{vecteur nul} comme étant le vecteur de norme nulle. On le note $\vv{0}$.

Si un vecteur représente un déplacement, le vecteur nul représente, quant à lui, la stabilité : le \og non déplacement \fg.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Quel que soit le vecteur $\vv{u}$, 
\[
\vv{u}+(-\vv{u})=\vv{0}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Multiplier un vecteur par un nombre réel}]
Soit $\vv{u}$ un vecteur quelconque et $k$ un nombre réel non nul.
\begin{itemize}
\item Si $k>0$, on définit le vecteur $\vv{v}=k\vv{u}$ comme étant le vecteur somme : 
\[ \vv{v}=\underbrace{\vv{u}+\vv{u}+\cdots+\vv{u}}_{k\text{ fois}}.\]

\item Si $k<0$, on définit le vecteur $\vv{v}=k\vv{u}$ comme étant le vecteur somme : 
\[ \vv{v}=\underbrace{(-\vv{u})+(-\vv{u})+\cdots+(-\vv{u})}_{k\text{ fois}}.\]
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{enumerate}
\item $k>0$ :
\begin{tikzpicture}[>=stealth',baseline={(0,2)}]
\draw[->] (0,0) -- (2,1) node[midway,above left] {$\vv{u}$};
\draw[->] (0,-1) -- (2,0) node[midway,below right] {$\vv{u}$};
\draw[->] (2,0) -- (4,1) node[midway,below right] {$\vv{u}$};
\draw[->] (4,1) -- (6,2) node[midway,below right] {$\vv{u}$};
\draw[->,red,thick] (0,-2) -- (6,1) node[midway,below right] {$\vv{v}=3\vv{u}$};
\end{tikzpicture}

\bigskip

\item $k<0$ :
%\vspace*{-1em}
%\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',baseline={(0,2)}]
\draw[->] (0,0) -- (2,1) node[midway,above left] {$\vv{u}$};
\draw[<-] (0,-1) -- (2,0) node[midway,below right] {$-\vv{u}$};
\draw[<-] (2,0) -- (4,1) node[midway,below right] {$-\vv{u}$};
\draw[<-] (4,1) -- (6,2) node[midway,below right] {$-\vv{u}$};
\draw[<-,red,thick] (0,-2) -- (6,1) node[midway,below right] {$\vv{v}=-3\vv{u}$};
\end{tikzpicture}
%\end{center}
\end{enumerate}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Vecteurs colinéaires}]
Deux vecteurs sont \definmot{colinéaires} s'ils ont la m\^eme direction.

On peut écrire cette définition de la façon suivante :
\[
\vv{u}\text{ et }\vv{v}\text{ sont colinéaires}\Longleftrightarrow \exists~k\in\R*,\ \vv{u}=k\vv{v}.
\]
\end{pasbox}

\begin{attention}
On ne peut pas dire que deux vecteurs sont parallèles.

Le terme \og parallèle \fg{} est uniquement utilisé pour des droites ou des segments, voire éventuellement des courbes, mais pas pour des vecteurs.

Si deux vecteurs sont colinéaires, on pourra dire que leur \emph{support} (les droites qui les supportent) sont parallèles.
\end{attention}

\vspace*{-1em}
\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[gray,dashed] (0,0) grid (10,10);
\draw[->] (1,1) node[below left] {A} -- (4,3) node[above right] {B};
\draw[->] (9,9) node[above right] {C} -- (3,5) node[below left] {D};
\draw[thick,red,->] (1,1) -- (4,1) node[midway,below,draw=red,rounded corners,fill=red,text=white,outer sep=2mm] {$\pmb{+3}$};
\draw[thick,red,->] (9,5) -- (3,5) node[midway,below,draw=red,rounded corners,fill=red,text=white,outer sep=2mm] {$\pmb{-6=\boxed{-2}\times3}$};
\draw[thick,blue,->] (4,1) -- (4,3) node[midway,right,draw=blue,rounded corners,fill=blue,text=white,outer sep=2mm] {$\pmb{+2}$};
\draw[thick,blue,->] (9,9) -- (9,5) node[midway,right,draw=blue,rounded corners,fill=blue,text=white,outer sep=2mm] {$\pmb{-4=\boxed{-2}\times2}$};
\draw[<-,green!50!black,thick] (6.2,4.1) to[bend right=20] (10,3);
\draw[<-,green!50!black,thick] (10.8,6.7) to[bend right=30] (10,3) node[right,draw,fill=yellow!20,decorate,decoration={random steps,segment length=3pt,amplitude=1pt},drop shadow] {\begin{minipage}{2.5cm}\centering coefficient de colinéarité\end{minipage}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\`A l'aide du quadrillage, on peut remarquer ici que $\vv{CD}=-2\vv{AB}$, donc les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{CD}$ sont colinéaires.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem,name={Alignement de trois points}]
Si deux vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$ sont colinéaires, alors les points A, B et C sont alignés.
\end{pasbox}

\section*{Dans un repère}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Vecteurs unitaires d'un repère}]
On considère un repère (O;I,J).

On appelle \definmot{vecteurs unitaires} de ce repère les vecteurs :
\[ \vv{\imath}=\vv{OI}\qquad\text{et}\qquad\vv{\jmath}=\vv{OJ}.\]
Le repère est alors noté : \Rij.
\end{pasbox}


\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Coordonnées d'un point}]
On considère un point $M\coord{x}{y}$ dans un repère \Rij.

Alors,
\[
\vv{OM}=x\vv{\imath}+y\vv{\jmath}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
On considère le point $M\coord{4}{3}$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\repere{-1}{-1}{5}{4}
\fill (4,3) circle (1.5pt) node[above] {M};
\draw[green!50!black,thick,->] (0,0) -- (4,3);
\draw[purple,dashed,thick,->] (0,0) -- (4,0) node[midway,below] {$4\vv{\imath}$};
\draw[purple,dashed,thick,->] (4,0) -- (4,3) node[midway,right] {$3\vv{\jmath}$};
\node[right] at (7,2) {$\vv{OM}=4\vv{\imath}+3\vv{\jmath}$.};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Le repère utilisé dans l'exemple est orthonormé (axes perpendiculaires -- \textit{ortho} -- et mêmes unités sur les axes -- \textit{normé}), mais le résultat est valable quel que soit le repère utilisé.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Coordonnées d'un vecteur}]
On considère un vecteur $\vv{AB}$ dans un repère \Rij.

Les coordonnées de $\vv{AB}$ sont notées ainsi :
\[
\vv{AB}\dbinom{x}{y}\;,
\]

où $x$ représente la dénivellation relative en abscisses et $y$ celle en ordonnées pour passer de A à B.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Calcul des coordonnées d'un vecteur}]
En posant A\coord{x_A}{y_A} et B\coord{x_B}{y_B}, on a :
\[
\vv{AB}\dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
On considère les points A\coord{3}{-2}, B\coord{-1}{4} et C\coord{-2}{-3} dans un repère \Rij.

\medskip

\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\repere{-3}{-4}{4}{5}
\fill (3,-2) circle (1pt) node[above right] {A};
\fill (-1,4) circle (1pt) node[above] {B};
\fill (-2,-3) circle (1pt) node[below left] {C};
% AB
\draw[thick,purple,->] (3,-2) -- (-1,4);
\draw[thick,purple,->,dashed] (3,4) -- (-1,4) node[midway,above] {$\pmb{-4\vv{\imath}}$};
\draw[thick,purple,->,dashed] (3,-2) -- (3,4) node[midway,right] {$\pmb{6\vv{\jmath}}$};
% CA
\draw[thick,blue,->] (-2,-3) -- (3,-2);
\draw[thick,blue,->,dashed] (-2,-3) -- (3,-3) node[midway,below] {$\pmb{5\vv{\imath}}$};
\draw[thick,blue,->,dashed] (3,-3) -- (3,-2) node[midway,right] {$\pmb{1\vv{\jmath}}$};
% CB
\draw[thick,green!50!black,->] (-2,-3) -- (-1,4);
\draw[thick,green!50!black,->,dashed] (-2,4) -- (-1,4) node[midway,above] {$\pmb{1\vv{\imath}}$};
\draw[thick,green!50!black,->,dashed] (-2,-3) -- (-2,4) node[midway,left] {$\pmb{7\vv{\jmath}}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-8.5cm}
\begin{itemize}
\item $\vv{AB}\dbinom{-1-3}{4-(-2)}=\dbinom{-4}{6}$.

\bigskip

\item $\vv{CA}\dbinom{3-(-2)}{-2-(-3)}=\dbinom{5}{1}$.

\bigskip

\item $\vv{CB}\dbinom{-1-(-2)}{4-(-3)}=\dbinom{1}{7}$.
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem,pluriel]
\begin{itemize}
\item Quand on a terminé un calcul de coordonnées, il est conseillé de regarder la cohérence des résultats sur un graphique (ce que montrent les flèches en pointillés dans l'exemple précédent) ;

\item Dans un repère qui n'est pas orthonormé, les flèches en pointillés doivent \^etre parallèles aux axes (et non horizontales ou verticales) :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',scale=0.8]
\begin{scope}[xshift=-5mm]
\draw[thick,->] (-1,0) -- (6,0);
\draw[thick,->] (-.5,-.5) -- (3.5,4.5);
\node[below left] at (-0.5,0) {O};
\draw[thick,red,->] (-0.12,0) -- (1,0) node[midway,below] {$\vv{\imath}$};
\draw[thick,red,->] (-0.1,0) -- (.86,1.2) node[midway,left] {$\vv{\jmath}$};
\end{scope}
\fill (2,2) circle (1pt) node[below] {A};
\fill (6,4) circle (1pt) node[above] {B};
\draw[dashed,purple,<-] (6,4) -- (4.4,2) node[midway,right] {$+y\vv{\jmath}$};
\draw[dashed,purple,<-] (4.4,2)--(2,2) node[midway,below] {$+x\vv{\imath}$};
\draw[->,blue,thick] (2,2) -- (6,4) node[midway,above left,scale=0.6] {$\vv{AB}\dbinom{x}{y}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,pluriel]
Soient $\vv{u}\dbinom{x}{y}$ et $\vv{v}\dbinom{x'}{y'}$ deux vecteurs dans un repère \Rij.

\medskip

\begin{itemize}
\item Le vecteur somme $\vv{w}=\vv{u}+\vv{v}$ a pour coordonnées :
\[
\vv{w}\dbinom{x+x'}{y+y'}.
\]

\item Soit $k\in\R*$. Alors, le vecteur $k\vv{u}$ a pour coordonnées :
\[
k\vv{u}\dbinom{k\times x}{k\times y}.
\]
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
On pose $\vv{u}\dbinom{-1}{2}$ et $\vv{v}\dbinom{3}{-1}$.
\begin{itemize}
\item $\vv{w}=\vv{u}+\vv{v}$ avec $\vv{w}\dbinom{-1+3}{2+(-1)}=\dbinom{2}{1}$.
\item $-3\vv{u}\dbinom{-3\times(-1)}{-3\times2}=\dbinom{3}{-6}$.
\end{itemize}
\end{pasbox}


\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Vérifier si deux vecteurs sont colinéaires par le calcul}]
$\vv{u}\dbinom{x}{y}$ et $\vv{v}\dbinom{x'}{y'}$ sont colinéaires si et seulement si :
\[ xy'=x'y.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Vecteur directeur d'une droite}]
Soit $\mathscr{D}$ une droite dans un repère \Rij{} quelconque.

Un \definmot{vecteur directeur} de $\mathscr{D}$ est un vecteur dont la direction est parallèle à $\mathscr{D}$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Dans un repère \Rij, on considère la droite $\mathscr{D}$ d'équation : $y=ax+b$.

Alors, un vecteur directeur de $\mathscr{D}$ est :
\[
\vv{u}\dbinom{1}{a}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\repere{-3}{-5}{4}{5}
\clip (-3,-5) rectangle (4,5);
\draw[very thin] plot[domain=-5:5] (\x,{2*\x-1});
\node at (3,4.5) {$\mathscr{D}$};
\draw[thick,purple,->,>=stealth'] (1,1) -- (2,3) node[midway,left] {$\vv{u}$};
\draw[very thick,green!50!black,->,>=stealth'] (-0.5,-2) -- (-1,-3) node[midway,right] {$\vv{v}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-9cm}
La droite $\mathscr{D}$ a pour équation :
\[
y=2x-1.
\]
Les vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont deux vecteurs directeurs de $\mathscr{D}$ (car ils ont la même direction que la droite).

\medskip

$\vv{u}$ a bien pour coordonnées :
\[
\vv{u}\dbinom{1}{a}=\dbinom{1}{2}.
\]

Quant à $\vv{v}$, il doit être colinéaire à $\vv{u}$ car ce sont deux vecteurs directeurs d'une même droite. Ici, nous avons l'égalité :
\[
\vv{v}=-\dfrac{1}{2}\vv{u}.
\]
\end{minipage}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Droites parallèles et sécantes}]
Soient deux droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ de vecteurs directeurs respectifs $\vv{u}$ et $\vv{v}$.

$\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ sont parallèles si et seulement si $\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont colinéaires.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem,name={Intersection de deux droites}]
Une fois que l'on a vérifié que deux droites n'étaient pas parallèles, on peut déterminer les coordonnées de leur point d'intersection en résolvant un système linéaire.

En effet, si $\mathscr{D}$ a pour équation $y=ax+b$ et $\mathscr{D}'$ a pour équation $y=a'x+b'$, alors l'équation :
\[ ax+b=a'x+b'\]
permet de trouver son abscisse.

Ensuite, on remplace $x$ par la valeur trouvée dans l'équation $y=ax+b$ (ou $y=a'x+b'$) pour trouver son ordonnée.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Soient :
\[
\begin{cases}
\mathscr{D} &:\quad y=-2x+3\\
\mathscr{D}' &:\quad y=5x+2
\end{cases}
\]
On résout l'équation :
\[
-2x+3=5x+2
\]
et on trouve :
\[
7x=1 \Longleftrightarrow x=\frac{1}{7}.
\]
Ensuite, on remplace dans l'équation de $\mathscr{D}$ :
\begin{align*}
y&=-2\times\frac{1}{7}+3\\
y& = -\frac{2}{7}+\frac{21}{7}\\
y& = \frac{19}{7}.
\end{align*}

Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ se coupent donc en un point de coordonnées \coord{\dfrac{1}{7}}{\dfrac{19}{7}}.
\end{pasbox}
\end{document}	