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% Numprint
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% Tableau
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% Symbole euro
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% Style
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{\color{purple}\Large\bfseries\fontfamily{phv}\selectfont}
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\begin{document}
\chap[num={09},pos=right,color=purple]{Statistiques descriptives}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Statistiques de 3\ieme
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Types de séries statistiques},pluriel]
Il existe deux principaux types de séries statistiques :
\begin{itemize}
\item Les séries statistiques dont les caractères (ce que l'on observe) sont \definmot{qualitatifs} (traduits par des mots) ; 
\item Les séries statistiques dont les caractères sont \definmot{quantitatifs} (traduits par des nombres).
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item Si nous observons la couleur des voitures dans un parking, les caractères sont qualitatifs (bleu, rouge, vert, ...).
\item Si nous observons le salaire des employés d'une société ou le nombre de stylos à encre bleue dans la trousse des élèves d'une classe de Seconde, les caractères sont quantitatifs.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Représentation d'une série statistique à caractères qualitatifs}]
Si une série statistique est à caractères qualitatifs, on peut la représenter par :
\begin{itemize}
\item un diagramme circulaire ou semi-circulaire ;
\item un diagramme en b\^atons.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item Au 08/09/2014, la composition de l'Assemblée Nationale était donnée par le tableau suivant :
\begin{center}
\renewcommand{\arrayrulecolor}{blue!50!black}
\begin{tabular}{|Sl|Sc|>{\columncolor{blue!20}}Sc|}
\hline\rowcolor{blue!50!black}
\color{white}\bfseries Groupe & \color{white}\bfseries Effectif & \color{white}\bfseries Angles\\
\hline
\tikz\filldraw[fill=pink!20,draw=pink] (0,0) circle (5pt); Socialiste, républicain et citoyen & 290 & $\dfrac{290}{577}\times180\degres\approx90\degres$\\
\hline
\tikz\filldraw[fill=blue!20,draw=blue] (0,0) circle (5pt); Union pour un Mouvement Populaire & 199	& $\dfrac{199}{577}\times180\degres\approx62\degres$\\
\hline
\tikz\filldraw[fill=purple!20,draw=purple] (0,0) circle (5pt); Union des démocrates et indépendants & 30 & $\dfrac{30}{577}\times180\degres\approx10\degres$\\
\hline
\tikz\filldraw[fill=green!20,draw=green] (0,0) circle (5pt); Écologiste	& 18 & $\dfrac{18}{577}\times180\degres\approx6\degres$	\\
\hline
\tikz\filldraw[fill=red!20,draw=red] (0,0) circle (5pt); Radical, républicain, démocrate et progressiste	&	17 & $\dfrac{17}{577}\times180\degres\approx5\degres$\\
\hline
\tikz\filldraw[fill=yellow!20,draw=yellow] (0,0) circle (5pt); Gauche démocrate et républicaine	&	15 & $\dfrac{15}{577}\times180\degres\approx5\degres$\\
\hline
\tikz\filldraw[fill=gray!20,draw=gray] (0,0) circle (5pt); Députés non inscrits & 8 & $\dfrac{8}{577}\times180\degres\approx2\degres$\\
\hline\rowcolor{blue!50!black}
\color{white}\bfseries Total & \color{white}\bfseries 577 & \color{white} $\pmb{180\degres}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{itemize}
\breakbox
\begin{itemize}
\item[] On peut alors représenter cette répartition à l'aide d'un diagramme semi-circulaire (dont les angles ont été calculés et mis dans la dernière colonne du tableau précédent) :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\filldraw[draw=black,fill=red!20] (0,0) -- (180:3) arc(180:175:3) -- cycle;
\filldraw[draw=black,fill=pink!20] (0,0) -- (175:3) arc(175:85:3) -- cycle;
\filldraw[draw=black,fill=green!20] (0,0) -- (85:3) arc(85:79:3) -- cycle;
\filldraw[draw=black,fill=yellow!20] (0,0) -- (79:3) arc(79:74:3) -- cycle;
\filldraw[draw=black,fill=purple!20] (0,0) -- (74:3) arc(74:64:3) -- cycle;
\filldraw[draw=black,fill=blue!20] (0,0) -- (64:3) arc(64:2:3) -- cycle;
\filldraw[draw=black,fill=gray!20] (0,0) -- (2:3) arc(2:0:3) -- cycle;
\end{tikzpicture}

\textbf{Répartition des députés (selon leur groupe)\\
à l'Assemblée Nationale au 08/09/2014}
\end{center}

\item Nous avons interrogé 40 élèves d'une classe de Seconde pour savoir le moyen de locomotion qu'ils utilisaient le matin pour venir au lycée. Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :

\begin{center}
\renewcommand{\arrayrulecolor}{blue!50!black}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}\bfseries\arraybackslash}Sl|*5{Sc|}}
\hline
Moyens de locomotion & Vélo & Bus & Tramway & \`A pieds & Voiture\\
\hline
Effectifs & 5 & 10 & 9 & 8 & 8 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Pour ce genre de tableau, on peut utiliser un diagramme en b\^atons :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[gray,dashed] (0,0) grid[xstep=12,ystep=1] (11,10);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,11) node[right] {Effectifs};
\draw[thick,->] (0,0) -- (11,0) node[below left,outer ysep=15pt] {Moyens de transports};
\foreach \y in {0,1,...,10}
{
	\draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left] {\y};
}
\draw[very thick,red] (2,0) node[below] {Vélo} -- (2,5);
\draw[very thick,green!50!black] (4,0) node[below] {Bus} -- (4,10);
\draw[very thick,purple] (6,0) node[below] {Tramway} -- (6,9);
\draw[very thick,yellow!70!purple] (8,0) node[below] {\`A pieds} -- (8,8);
\draw[very thick,blue] (10,0) node[below] {Voiture} -- (10,8);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Notez que pour le premier exemple, afin de calculer les angles correspondants à chaque groupe, nous avons multiplié $180\degres$ (l'angle qui représente le total ) par une fraction : cette fraction est la \emph{fréquence} de l'effectif considéré. 
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Fréquence (rappel)}]
La \definmot{fréquence} d'un caractère est donnée par la formule :
\[
f=\dfrac{\text{effectif du caractère}}{\text{effectif total}}.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Types de caractères quantitatifs},pluriel]
Parmi les caractères quantitatifs, on peut (et on doit) dissocier :
\begin{itemize}
\item les caractères quantitatifs \definmot{discrets} : ceux que l'on peut énumérer un à un ;
\item les caractères quantitatifs \definmot{continus} : ceux qu'il est impossible d'énumérer un à un. Ces caractères sont appelés des \definmot{classes}.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item Lorsque l'on regarde le nombre de stylos à encre bleue dans la trousse des élèves d'une classe de Seconde, les caractères sont discrets (0, 1, 2, ...).
\item Quand on regarde le salaire des salariés d'une grande société, il est impossible de tous les énumérer ; ce qui nous intéresse est de les regrouper par classes (par exemple, les salaires inférieurs à \numprint{1200}~\euro, ceux compris entre \numprint{1200}~\euro{} et \numprint{1500}~\euro, ...). Ces classes seront donc des intervalles : \intervFO{0}{\numprint{1200}}, \intervFO{1200}{1250}, ...
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Représentation d'une série statistique à caractères quantitatifs}]

\begin{itemize}
\item On peut représenter les séries statistiques à caractères quantitatifs discrets par un diagramme en b\^atons ou un diagramme circulaire ou semi-circulaire ;
\item On peut représenter les séries statistiques à caractères quantitatifs continus par un histogramme. Dans ce cas, c'est l'aire des rectangles qui doit \^etre proportionnelle à l'effectif (et non leur hauteur). Si l'amplitude des classes (la base des rectangles) est la  m\^eme, la hauteur est aussi proportionnelle à l'effectif.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Dans une société quelconque, on considère la répartition des salaires suivante :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}\bfseries\arraybackslash}Sl|*4{Sc|}}
\hline
Salaires (en \euro) & $\leqslant\numprint{1200}$ & \intervOF{\numprint{1200}}{\numprint{1400}} & \intervOF{\numprint{1400}}{\numprint{1600}} & $>\numprint{1600}$\\
\hline
Effectifs & 120 & 150 & 210 & 90\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\breakbox
On peut alors représenter cette répartition de la façon suivante :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',scale=0.7]
\draw[gray,dashed] (0,0) grid (16,11);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,12);
\draw[thick,->] (0,0) -- (17,0) node[below left,outer ysep=15pt] {Salaires (en \euro)};
\foreach \x/\s in {0/0,4/{\numprint{1200}},8/{\numprint{1400}},12/{\numprint{1600}}}
{
	\node[below] at (\x,0) {\s};
}
\fill[opacity=0.8,red] (0,0) rectangle +(4,6);
\fill[opacity=0.8,orange] (4,0) rectangle +(4,8);
\fill[opacity=0.8,orange!50!yellow] (8,0) rectangle +(4,10.5);
\fill[opacity=0.8,yellow] (12,0) rectangle +(4,4.5);
\draw[gray,dashed] (17,11) rectangle +(1,1);
\node[right] at (18,11.5) {5 employés};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Moyenne}]
\begin{itemize}
\item Dans le cas d'une série statistique à caractères quantitatifs discrets donnés par un tableau comme le suivant :
\begin{center}
\renewcommand{\arrayrulecolor}{blue!50!black}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}\bfseries}Sl|*4{Sc|}}
\hline
Caractères ($x_i$) &  $x_1$ & $x_2$ & $\cdots$ & $x_p$\\
\hline
Effectifs ($n_i$) & $n_1$ & $n_2$ & $\cdots$ & $n_p$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
la moyenne de la série est donnée par la formule :
\[
\overline{x}=\dfrac{n_1\times x_1+n_2\times x_2+\cdots+n_p\times x_p}{n_1+n_2+\cdots+n_p}.
\]

\item Dans le cas d'une série statistique à caractères quantitatifs continus donnés par un tableau comme le suivant :
\begin{center}
\renewcommand{\arrayrulecolor}{blue!50!black}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}\bfseries}Sl|*4{Sc|}}
\hline
Classes &  $\intervFO{a_1}{a_2}$ & $\intervFO{a_2}{a_3}$ & $\cdots$ & $\intervFF{a_p}{a_{p+1}}$\\
\hline
Centres des classes & $c_1$ & $c_2$ & $\cdots$ & $c_p$\\
\hline
Effectifs ($n_i$) & $n_1$ & $n_2$ & $\cdots$ & $n_p$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
la moyenne de la série est donnée par la formule :
\[
\overline{x}=\dfrac{n_1\times c_1+n_2\times c_2+\cdots+n_p\times c_p}{n_1+n_2+\cdots+n_p}.
\]
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item On considère la série statistique représentée par le tableau suivant :

\begin{center}
\renewcommand{\arrayrulecolor}{blue!50!black}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}\bfseries}Sl|*4{Sc|}}
\hline
Caractères ($x_i$) &  0 & 1 & 2 & 3\\
\hline
Effectifs ($n_i$) & 5 & 7 & 6 & 9\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
Sa moyenne est alors :
\[
\overline{x}=\dfrac{5\times0+7\times1+6\times2+9\times3}{5+7+6+9}=\dfrac{46}{27}\approx1,7.
\]

\item On considère la série statistique représentée par le tableau suivant :

\begin{center}
\renewcommand{\arrayrulecolor}{blue!50!black}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}\bfseries}Sl|*4{Sc|}}
\hline
Classes &  \intervFO{0}{5} & \intervFO{5}{10} & \intervFO{10}{15} & \intervFF{15}{20}\\
\hline
Centres des classes & 2,5 & 7,5 & 12,5 & 17,5\\
\hline
Effectifs ($n_i$) & 5 & 7 & 6 & 9\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
Sa moyenne est alors :
\[
\overline{x}=\dfrac{5\times2,5+7\times7,5+6\times12,5+9\times17,5}{5+7+6+9}=\dfrac{297,5}{27}\approx11.
\]
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Médiane}]
La \definmot{médiane} d'une série statistique est la valeur $m_e$ du caractère qui sépare la série en deux séries de m\^emes effectifs.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item \textbf{Cas d'une série statistique à caractères quantitatifs discrets.}

On considère la série donnée par le tableau suivant :

\begin{center}
\renewcommand{\arrayrulecolor}{blue!50!black}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}\bfseries}Sl|*4{Sc|}}
\hline
Caractères ($x_i$) &  0 & 1 & 2 & 3\\
\hline
Effectifs ($n_i$) & 5 & 7 & 6 & 9\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

Nous allons ajouter une ligne où l'on mettra les \definmot{effectifs cumulés croissants} (e.c.c.) :

\begin{center}
\renewcommand{\arrayrulecolor}{blue!50!black}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}\bfseries}Sl|*4{Sc|}}
\hline
Caractères ($x_i$) &  0 & 1 & 2 & 3\\
\hline
Effectifs ($n_i$) & 5 & 7 & 6 & 9\\
\hline
E.c.c. & \textbf{5} & $5+7=\pmb{12}$ & $12+6=\pmb{18}$ & $18+9=\pmb{27}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

L'effectif total de cette série est donc 27 (le dernier e.c.c.). Or, $27\div2=13,5$, donc la 14\ieme{} valeur des caractères sera la médiane : il s'agit ici de \og 2 \fg{} car sur la ligne des e.c.c., on voit que l'on atteint 14 pour \og 2 \fg. Donc $m_e=2$ .
\end{itemize}
\breakbox
\begin{itemize}
\item \textbf{Cas d'une série statistique à caractères quantitatifs continus.}

On considère la série donnée par le tableau suivant :

\begin{center}
\renewcommand{\arrayrulecolor}{blue!50!black}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}\bfseries}Sl|*4{Sc|}}
\hline
Classes &  \intervFO{0}{5} & \intervFO{5}{10} & \intervFO{10}{15} & \intervFF{15}{20}\\
\hline
Effectifs ($n_i$) & 5 & 7 & 6 & 9\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On ajoute la ligne des e.c.c. :

\begin{center}
\renewcommand{\arrayrulecolor}{blue!50!black}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}\bfseries}Sl|*4{Sc|}}
\hline
Classes &  \intervFO{0}{5} & \intervFO{5}{10} & \intervFO{10}{15} & \intervFF{15}{20}\\
\hline
Effectifs ($n_i$) & 5 & 7 & 6 & 9\\
\hline
E.c.c. & \textbf{5} & $5+7=\pmb{12}$ & $12+6=\pmb{18}$ & $18+9=\pmb{27}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On construit alors la \og courbe brisée \fg{} suivante et on trouve $m_e$ comme indiqué en pointillés bleus en plaçant \pourcent{50} de l'effectif total sur l'axe des ordonnées :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth',scale=0.5]
\draw[dashed,gray] (0,0) grid (20,29);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,30) node[right] {E.c.c};
\draw[thick,->] (0,0) -- (22,0);
\draw[red] (0,0) -- (5,5) -- (10,12) -- (15,18) -- (20,27);
\foreach \x/\y in {0/0,5/5,10/12,15/18,20/27}
{
	\fill (\x,\y) circle (2pt);
	\draw[thick] (\x,0.2) -- (\x,-0.2) node[below] {\x};
	\draw[thick] (0.2,\y) -- (-0.2,\y) node[left] {\y};
}
\draw[blue,very thick,dashed,<->] (0,13.5) node[left] {13,5} -- (11.3,13.5) -- (11.3,0) node[below] {$m_e$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth]
Dans le dernier exemple, pour trouver numériquement la médiane, on trouve d'abord l'équation du segment dans la classe où est la médiane (ici, sur \intervFO{10}{15}) :

\[y=mx+p \qquad m=\dfrac{18-12}{15-10}=\dfrac{6}{5}\quad;\quad p=18-\dfrac{6}{5}\times15=18-18=0.\]
Ainsi, l'équation du segment est $y=\dfrac{6}{5}x$ sur \intervFO{10}{15}.

\medskip

Maintenant, on remplace $y$ par $13,5$ : 
\[
13,5=\dfrac{6}{5}x \Longrightarrow x=13,5\times\dfrac{5}{6}=11,25.
\]
La médiane est donc $m_e=11,25$, ce qui correspond bien à ce que l'on peut à peu près lire sur le graphique.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,pluriel,name={Quartiles}]
\begin{itemize}
\item Le premier quartile, noté $Q_1$, d'une série statistique est la valeur du caractère pour laquelle au moins \pourcent{25} des valeurs sont inférieures ou égales à $Q_1$ ;
\item Le troisième quartile, noté $Q_3$, d'une série statistique est la valeur du caractère pour laquelle au moins \pourcent{75} des valeurs sont inférieures ou égales à $Q_3$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
On donne la répartition des notes à un contrôle dans une classe de 27 élèves par le tableau suivant :

\begin{center}
\renewcommand{\arrayrulecolor}{blue!50!black}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}\bfseries}Sl|*9{Sc|}}
\hline
Notes sur 20 &  7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\
\hline
Effectifs ($n_i$) & 2 & 3 & 5 & 2 & 1 & 6 & 3 & 3 & 2\\
\hline
E.c.c. & 2 & 5 & 10 & 12 & 13 & 19 & 22 & 25 & 27\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{itemize}
\item \pourcent{25} de 27 est égal à $\dfrac{25}{100}\times27=6,75$.

La valeur \og 6,75 \fg{} est atteinte pour la note \og 9 \fg{} ; par conséquent, $Q_1=9$ ;

\item \pourcent{75} de 27 est égal à $\dfrac{75}{100}\times27=20,25$.

La valeur \og 20,25 \fg{} est atteinte pour la note \og 13 \fg{} ; par conséquent, $Q_3=13$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem,pluriel]
\begin{itemize}
\item Pour trouver la valeur de $Q_1$ et $Q_3$ dans le cas d'une série statistique à caractères quantitatifs continus, on procède de la m\^eme façon que pour la médiane.

\item La construction de la \og courbe brisée \fg{} peut aussi se faire à partir des fréquences cumulées croissantes (f.c.c.). Cette \og courbe brisée \fg{} s'appelle le \definmot{polygone des e.c.c.} ou \definmot{polygone des f.c.c.} selon ce que l'on prend pour la construire.
\end{itemize}
\end{pasbox}
\end{document}	