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{\color{purple}\Large\bfseries\fontfamily{phv}\selectfont}
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\begin{document}
\chap[num={09},pos=right,color=purple]{\'Echantillonnage}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Notions d'intervalles
\item Statistiques (notion de fréquence)
\item Probabilités de 3\ieme
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Expérience aléatoire et échantillon},pluriel]
Une \definmot{expérience aléatoire} est un acte comportant plusieurs issues possibles (connues) mais imprévisibles à l'avance.

\medskip

Un \definmot{échantillon de taille n} est constitué des résultats de $n$ répétitions indépendantes de la même expérience aléatoire.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item Une expérience aléatoire peut \^etre :
\begin{itemize}
\item le lancer d'un dé à 6 faces ;
\item le lancer d'une pièce de monnaie ;
\item un sondage d'opinion.
\end{itemize}

\item Un échantillon peut \^etre :
\begin{itemize}
\item les résultats de 100 lancers de dé lorsque l'on regarde si l'on obtient un multiple de 3 ; dans ce cas, la taille de l'échantillon est $n=100$.
\item les résultats d'un sondage sur \numprint{100000} personnes pour savoir s'ils aiment ou s'ils n'aiment pas un certain parfum ; dans ce cas, la taille de l'échantillon est\linebreak $n=\numprint{100000}$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Fluctuation d'échantillonnage}]
Imaginons maintenant que l'on réalise un sondage dans les villes A et B. Prenons deux échantillons dans chacune des deux villes, de tailles différentes.

Les résultats seront très certainement différents d'une ville à l'autre et les fréquences d'apparition d'un caractère donné (par exemple, le pourcentage de personnes ayant répondu \og oui \fg{} à une question) seront différentes.

\medskip

On appelle \definmot{fluctuation d'échantillonnage} les variations de ces fréquences.
\end{pasbox}

Pour comprendre ceci, nous allons réaliser une expérience à l'aide d'un tableur.

\section*{Simulation d'un lancer de dé cubique}
\addcontentsline{toc}{section}{Simulation d'un lancer de dé cubique}

Ouvrons un tableur et entrons dans la cellule \texttt{A1} la formule suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tableur[2]{A-C}
\celtxt{A}{1}{=ENT(1+6*ALEA())}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{itemize}
\item La fonction \texttt{ALEA()} permet de calculer un nombre aléatoire compris entre 0 (compris) et 1 (non compris) ;
\item \texttt{6*ALEA()} affichera donc un nombre dans l'intervalle \intervFO{0}{6} ;
\item \texttt{1+6*ALEA()} affichera donc un nombre dans l'intervalle \intervFO{1}{7} ;
\item La fonction \texttt{ENT} calcule la partie entière d'un nombre ; donc \texttt{ENT(1+6*ALEA())} affichera un nombre entier parmi : 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
\end{itemize}

Maintenant, copions cette formule de \texttt{A2} à \texttt{A100} afin d'obtenir, au final, 100 nombres entiers compris entre 1 et 6.

Dans la cellule \texttt{A101}, entrons la formule :
\begin{center}
\texttt{=NB.SI(A1:A100;1)}
\end{center}

Elle affichera le nombre de \og 1 \fg{} qui apparaissent dans la colonne \texttt{A}.

Ensuite, entrons dans la cellule \texttt{A102} la formule :
\begin{center}
\texttt{=A101/100}
\end{center}

pour afficher la fréquence d'apparition du nombre \og 1 \fg{} dans la colonne \texttt{A}.

\medskip

Copions alors la colonne \texttt{A} dans les colonnes de \texttt{B} à \texttt{BG} afin d'obtenir au final 60 colonnes de nombres.

Ceci simule 60 échantillons de 100 lancers d'un dé cubique (60 échantillons de taille $n=100$).

\medskip

On construit alors un nuage de points représentant les différentes fréquences obtenues.

\medskip

En appuyant sur la touche \texttt{[F9]}, on rafra\^ichit les calculs et on obtient un autre graphique. Voici un des graphiques obtenus :

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{simulation1.png}
\end{center}

La fréquence d'apparition théorique du nombre \og 1 \fg{} est la probabilité d'obtenir ce nombre : $p=\dfrac{1}{6}\approx0,17$.

\medskip

On s'aperçoit alors sur le graphique que les fréquences semblent se regrouper autour de cette valeur. On peut donc imaginer que les fréquences d'apparition du nombre \og 1 \fg{} vont se trouver dans un intervalle centré en $p$ : un intervalle de la forme $I=\intervFF{p-\delta}{p+\delta}$.

Nous allons prendre $\delta=\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{100}}=0,1$. Alors, $I\approx\intervFF{0,066}{0,267}$. 

\newpage

Pour conna\^itre le pourcentage de fréquences comprises dans cet intervalle, insérons dans la cellule \texttt{A103} la formule :
\begin{center}
\texttt{=SI(A102<=0,266;SI(A102>0,067;1;0);0)}
\end{center}
qui affiche \og 1 \fg{} si tel est le cas, et \og 0 \fg{} sinon. Ensuite, copions-la sur toute la ligne 103 jusqu'à \texttt{BH103}.

Dans la cellule \texttt{A104}, insérons la formule :
\begin{center}
\texttt{=SOMME(A103:BH103)/60}
\end{center}
puis formatons cette cellule de sorte à ce qu'elle affiche un pourcentage (en cliquant sur l'ic\^one \og \% \fg) : ceci affichera le pourcentage de fréquences d'apparition du \og 1 \fg{} qui sont dans $I$.

\medskip

En appuyant sur la touche \texttt{[F9]} plusieurs fois, je vois les pourcentages suivants :

\[
\pourcent{100}\qquad;\qquad\pourcent{96,67}\qquad;\qquad\pourcent{98,33}\qquad;\qquad\pourcent{100}\qquad;\qquad\pourcent{100}\qquad;\qquad\pourcent{98,33}.
\]

En utilisant donc cette valeur de $\delta$, nous sommes \emph{a priori} assurés qu'au moins \pourcent{95} des fréquences se trouvent dans $I$.

\bigskip

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95}}]
Un intervalle de fluctuation au seuil de \pourcent{95}, relatif aux échantillons de taille $n$, est un intervalle centré en $p$ qui contient la fréquence observée $f$ dans un échantillon de
taille $n$ avec une probabilité égale à 0,95.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Considérons un échantillon de taille $n\geqslant25$ et posons $p$ la probabilité d'obtenir un résultat précis. Notons $f$ la fréquence d'apparition de ce résultat dans l'échantillon. 

Si $0,2\leqslant p\leqslant0,8$, alors $f\in\intervFF{p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}$ avec une probabilité d'environ 0,95.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Prise de décision}]
Cette dernière propriété peut servir à contr\^oler, par exemple, si un dé est truqué.

\medskip

Pour tester un dé, lançons-le $n$ fois, $n\geqslant25$, et observons la fréquence d'apparition $f$ d'une face (n'importe laquelle) sur ces $n$ lancers.

Ensuite, calculons l'intervalle $I=\intervFF{p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}$, où $p$ est la probabilité attendue.

\begin{itemize}
\item Si $f\notin I$, alors on peut rejeter l'hypothèse selon laquelle le dé est équilibré avec une probabilité de se tromper de \pourcent{5} ;
\item sinon, on accepte l'hypothèse selon laquelle le dé est équilibré.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Intervalle de confiance au seuil de \pourcent{95}}]
Un \definmot{intervalle de confiance} permet d'avoir un intervalle où se situe la probabilité $p$ avec une probabilité de \pourcent{0,95}.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Considérons un échantillon de taille $n\geqslant25$ tel que $0,2\leqslant f\leqslant0,8$, où $f$ est la fréquence d'apparition d'un caractère donné dans l'échantillon considéré.

Alors, la probabilité $p$ du caractère est telle que $p\in\intervFF{f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}$ avec une probabilité égale à 0,95.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=rem]
Les intervalles de confiance sont très souvent utilisés dans les sondages (on parle de \og fourchette de sondages \fg).
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Une semaine avant des élections confrontant les candidats Gérard Padbol et Lydie Adupot, un sondage a été réalisé auprès de 873 personnes. Les intentions de v\^otes ont été synthétisés dans le tableau suivant :

\begin{center}
\renewcommand{\arrayrulecolor}{blue!50!black}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{blue!20}\bfseries}Sl|Sc|}
\hline
G. Padbol & \pourcent{46}\\
\hline
L. Adupot & \pourcent{54}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Un intervalle de confiance au seuil de \pourcent{95} du candidat G. Padbol est :
\[ 
I_1=\intervFF{0,46-\dfrac{1}{\sqrt{873}}}{0,46+\dfrac{1}{\sqrt{873}}}\approx\intervFF{0,426}{0,494}.
\]

Il faut qu'au moins \pourcent{50} des v\^otes soient pour un candidat pour qu'il gagne les élections.

On peut donc dire que G. Padbol ne sera pas élu (au risque de se tromper de \pourcent{5}) car son intervalle de confiance ne dépasse pas 0,5. 
\end{pasbox}

\begin{attention}
Dans le calcul des intervalles de fluctuation et de confiance,
\begin{itemize}
\item on arrondira toujours la borne inférieure \textbf{par défaut} ;
\item on arrondira toujours la borne supérieure \textbf{par excès}.
\end{itemize}
\end{attention}
\end{document}	