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\begin{document}
\chap[num={09},pos=right,color=purple]{Géométrie dans l'espace}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Géométrie dans le plan
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Droites \& plans de l'espace}]
Dans l'espace, une \definmot{droite} est définie par un point (par lequel elle passe) et une direction.

Un \definmot{plan} est définie par 3 points non alignés (qui appartiennent donc au plan) ou par deux droites sécantes (qui appartiennent donc au plan).
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{minipage}{9.5cm}
\begin{tikzpicture}
\filldraw[bottom color=blue!5,top color=blue!40,thick] (3,2) -- (0,0) -- (6,0) -- (9,2);
\draw (1,0.5) -- (7,1.5) node[right] {$d_1$};
\draw (3.2,1.5) -- (5.5,0.7) node[right] {$d_2$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-9.5cm}
Ici, les droites $d_1$ et $d_2$ sont sécantes ; elles définissent un plan que l'on schématise par un parallélogramme non fermé.
\end{minipage}

\bigskip

\begin{minipage}{9.5cm}
\begin{tikzpicture}
\filldraw[bottom color=blue!5,top color=blue!40,thick] (3,2) -- (0,0) -- (6,0) -- (9,2);
\fill (2,1) circle (2pt) node[below] {A};
\fill (5,.5) circle (2pt) node[above] {B};
\fill (7,1.5) circle (2pt) node[below] {C};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-9.5cm}
Ici, les trois points A, B et C définissent le plan.
\end{minipage}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Droites coplanaires}]
Dans l'espace, deux droites sont dites \definmot{coplanaires} lorsqu'elles appartiennent à un m\^eme plan.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{minipage}{9.5cm}
\begin{tikzpicture}
\filldraw[bottom color=purple!5,top color=purple!40,thick] (3,2) -- (0,0) -- (6,0) -- (9,2);
\draw (1,0.5) -- (7,1.5) node[right] {$d_1$};
\draw (3.2,1.5) -- (5.5,0.7) node[right] {$d_2$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-9.5cm}
Ici, les droites $d_1$ et $d_2$ sont coplanaires.
\end{minipage}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Droites parallèles}]
Dans l'espace, deux droites sont dites \definmot{parallèles} lorsqu'elles sont coplanaires et qu'elles ne se coupent pas.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{minipage}{5cm}
\begin{tikzpicture}
\cube[name,scale=2,incolor=red,coefopaq=0.3]
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5cm}
Dans un cube ABCDEFGH, (EH) et (BC) sont parallèles car elles appartiennent au m\^eme plan (BEC) et elles ne sont pas sécantes.

Les droites (EH) et (DC) ne se coupent pas mais elles ne sont pas sécantes car elles ne sont pas coplanaires.
\end{minipage}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Plans parallèles}]
Deux plans sont dits \definmot{strictement parallèles} s'ils n'ont aucun point commun.

Deux plans sont dits \definmot{parallèles} s'ils sont confondus ou strictement parallèles.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{minipage}{9.5cm}
\begin{tikzpicture}
\draw (3,2) -- (0,0) -- (6,0) -- (9,2);
\draw (1,0) arc(0:35:1cm);
\node[right] at (18:1cm) {$\mathscr{P}_1$};
\draw (3,3) -- (0,1) -- (6,1) -- (9,3);
\begin{scope}[yshift=1cm]
\draw (1,0) arc(0:35:1cm);
\node[right] at (18:1cm) {$\mathscr{P}_2$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-9.5cm}
Ici, les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont parallèles.
\end{minipage}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Intersection de deux plans}]
Si deux plans sont sécants, alors leur intersection est une droite.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{minipage}{11cm}
\begin{tikzpicture}
\filldraw[bottom color=purple!5,top color=purple!40,thick] (3,2) -- (0,0) -- (8,0) -- (11,2);
\fill[bottom color=red!5,top color=red!40] (7,4) -- (4,2) -- (4,-3) -- (7,-1);
\fill[bottom color=red!5,top color=red!40,opacity=0.5] (4,0) -- (4,2) -- (7,2) -- cycle;
\fill[bottom color=purple!5,top color=purple!40,opacity=0.5] (4,0) -- (7,2) -- (7,0) -- cycle;
\draw[thick,purple,dashed] (4,0) -- (7,2);
\draw[thick] (3,2) -- (0,0) -- (8,0) -- (11,2);
\draw[thick] (7,4) -- (4,2) -- (4,-3) -- (7,-1);
\draw (1,0) arc(0:35:1cm);
\node[right] at (18:1cm) {$\mathscr{P}_1$};
\draw ($(4,-3)+(35:0.75cm)$) arc(35:90:0.75cm);
\node[above] at ($(4,-3)+(62:0.75cm)$) {$\mathscr{P}_2$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-11.5cm}
Les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont sécants suivant la droite en pointillés rouges.

Si on note $d$ cette droite, alors on écrira :
\[ d=\mathscr{P}_1\cap\mathscr{P}_2\;.\]
\end{minipage}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Transitivité du parallélisme}]
Dans l'espace, en notant $d_1$, $d_2$ et $d_3$ trois droites puis $\mathscr{P}_1$, $\mathscr{P}_2$ et $\mathscr{P}_3$ trois plans,
\begin{itemize}
\item si $d_1~//~d_2$ et $d_1~//~d_3$ alors $d_2~//~d_3$ ;
\item si $\mathscr{P}_1~//~\mathscr{P}_2$ et $\mathscr{P}_1~//~\mathscr{P}_3$ alors $\mathscr{P}_2~//~\mathscr{P}_3$.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Plans perpendiculaires}]
Soient $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ deux plans de l'espace.

On dit qu'ils sont \definmot{perpendiculaires} s'ils sont sécants suivant une droite $d$ si on peut construire une droite $d_1$ appartenant à $\mathscr{P}_1$ et une droite $d_2$ appartenant à $\mathscr{P}_2$ telles que $d_1\perp d$, $d_2\perp d$ et $d_1\perp d_2$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{minipage}{11cm}
\begin{tikzpicture}
\filldraw[bottom color=purple!5,top color=purple!40,thick] (3,2) -- (0,0) -- (8,0) -- (11,2);
\fill[bottom color=red!5,top color=red!40] (7,4) -- (4,2) -- (4,-3) -- (7,-1);
\fill[bottom color=red!5,top color=red!40,opacity=0.5] (4,0) -- (4,2) -- (7,2) -- cycle;
\fill[bottom color=purple!5,top color=purple!40,opacity=0.5] (4,0) -- (7,2) -- (7,0) -- cycle;
\draw[thick,purple,dashed] (4,0) -- (7,2);
\draw (1,0) arc(0:35:1cm);
\node[right] at (18:1cm) {$\mathscr{P}_1$};
\draw ($(4,-3)+(35:0.75cm)$) arc(35:90:0.75cm);
\node[above] at ($(4,-3)+(62:0.75cm)$) {$\mathscr{P}_2$};
\draw[thick,red] ($(4,0)+(33:2cm)$) -- ($(4,1.95)+(33:2cm)$);
\draw[thick,red,dotted] ($(4,0)+(33:2cm)$) -- ($(4,0)+(33:2cm)+(0,{-2*sin(33)})$);
\draw[thick,red] ($(4,0)+(33:2cm)+(0,{-2*sin(33)})$) -- ($(4,-3)+(33:2cm)$) node[above left] {$d_2$};
\draw[purple,thick] ($(4,0)+(33:2cm)$) -- ($(8,0)+(33:2cm)$) node[above left] {$d_1$};
\draw[purple,thick,dotted] ($(4,0)+(33:2cm)$) -- ($(4,0)+(33:2cm)+({-2*cos(33)},0)$);
\draw[purple,thick] ($(4,0)+(33:2cm)+({-2*cos(33)},0)$) -- (33:2cm);
\draw[thick] (3,2) -- (0,0) -- (8,0) -- (11,2);
\draw[thick] (7,4) -- (4,2) -- (4,-3) -- (7,-1);
\node[right,purple,scale=0.8] at ($(4,0)+(18:0.5cm)$) {$d$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-11.5cm}
$
\begin{cases}
d_1\subset\mathscr{P}_1\text{ et }d_1\perp d\;;\\
d_2\subset\mathscr{P}_2\text{ et }d_2\perp d\;;\\
d_1\perp d_2
\end{cases}
$
\end{minipage}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Si deux plans sont parallèles, alors tout plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Position relative d'une droite et d'un plan}]
On dit qu'une droite est \definmot{strictement parallèle} à un plan si elle ne le coupe pas.

On dit qu'une droite est \definmot{parallèle} à un plan si elle est incluse dans ce plan ou si elle lui est strictement parallèle.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={Intersection de plans parallèles}]
Si deux plans sont parallèles, tout plan coupant le premier coupe le second et les droites d'intersection sont parallèles.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{tikzpicture}
\filldraw[bottom color=purple!5,top color=purple!40,thick] (3,2) -- (0,0) -- (8,0) -- (11,2);
\filldraw[bottom color=blue!5,top color=blue!40,thick] (3,-1) -- (0,-3) -- (8,-3) -- (11,-1);
\filldraw[bottom color=yellow!5,top color=yellow!40,thick] (3,5) -- (0,3) -- (6,-5) -- (9,-3);
%
\fill[purple!40!yellow,opacity=0.5] (3,2) -- (33:1.8cm) -- (2.3,0) -- (5.25,2) -- cycle;
\fill[purple!60!yellow,opacity=0.5] (2.3,0) -- (6.75,0) -- (5.25,2) -- cycle;
%
\fill[blue!40!yellow,opacity=0.5] (3,-1) -- (4.5,-3) -- (7.5,-1) -- cycle;
\fill[blue!60!yellow,opacity=0.5] (4.5,-3) -- (8,-3) -- ($(8,-3)+(33:0.8cm)$) -- (7.5,-1) -- cycle;
%
\draw[thick] (3,2) -- (0,0) -- (8,0) -- (11,2);
\draw[thick] (3,-1) -- (0,-3) -- (8,-3) -- (11,-1);
%
\draw[thick,red] (2.3,0) -- (5.25,2) node[below] {$d_1$};
\draw[thick,red] (4.5,-3) -- (7.5,-1) node[below] {$d_2$};
%
\node[right] at (12,0) {$d_1~//~d_2$};
\end{tikzpicture}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Droites orthogonales}]
On dit que deux droites sont \definmot{orthogonales} s'il existe une droite parallèle à l'une et perpendiculaire à l'autre.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{minipage}{12cm}
\begin{tikzpicture}
\filldraw[bottom color=purple!5,top color=purple!40,thick] (3,2) -- (0,0) -- (8,0) -- (11,2);
\draw[thick,red,dashed] (1,0.5) -- (9,1.5) node[right] {$d_1$};
\draw[thick,red] (1,2.5) -- (9,3.5) node[right] {$d_2$};
\draw[purple,thick] (3,1.8) -- (5,0.3) node[right] {$d_3$};
\draw[thick] (4.1,1) -- (4.3,{1+0.2/8}) -- (4.4,{1+0.2/8-0.15/2});
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-12.5cm}
$d_2$ et $d_3$ sont orthogonales car il existe une droite ($d_1$) parallèle à $d_2$ et perpendiculaire à $d_3$.
\end{minipage}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Droite orthogonale à un plan}]
On dit qu'une droite est orthogonale à un plan si elle est perpendiculaire à deux droites sécantes de ce plan.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
\begin{minipage}{12cm}
\begin{tikzpicture}
\filldraw[bottom color=purple!5,top color=purple!40,thick] (3,2) -- (0,0) -- (8,0) -- (11,2);
\draw[thick] (1,0.5) -- (9,1.5) node[right] {$d_1$};
\draw[thick] (3,1.8) -- (5,0.3) node[right] {$d_2$};
\draw[thick,red] (4.2,3) -- (4.2,-1) node[right] {$d_3$};
\draw[thick,red] (4.2,1.2) -- (3.9,1.15) -- (3.9,.85);
\draw[thick,blue] (4.2,1.2) -- (4.5,1.05) -- (4.5,.7);
\draw (1,0) arc(0:35:1cm);
\node[right] at (18:1cm) {$\mathscr{P}$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-12.5cm}
$d_2\perp d_3$, $d_1\perp d_3$, $d_1\subset\mathscr{P}$ et $d_2\subset\mathscr{P}$ donc $d_3$ est orthogonale à $\mathscr{P}$.
\end{minipage}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Si deux droites sont orthogonales à un plan, alors elles sont parallèles entre elles.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
Si deux plans sont orthogonaux à une m\^eme droite, alors ils sont parallèles entre eux.
\end{pasbox}
\end{document}	