\begin{enumerate}
\item A\coord{-3}{5} et M\coord{x}{y} donc :
\[
\rm MA^2=(x_A-x_M)^2+(y_A-y_M)^2=(-3-x)^2+(5-y)^2.
\]
Or, $\rm MA=3$ (d'après l'énoncé) donc $\rm MA^2=3^2=9$ d'où :
\[
(-3-x)^2+(5-y)^2=9
\]
soit, en développant :
\[
9+6x+x^2+25-10y+y^2=9
\]
ou encore :
\[
x^2+y^2=10y-6x-25.\qquad(1)
\]

B\coord{5}{2} donc, de façon analogue à ce qui vient d'être fait :
\[
(5-x)^2+(2-y)^2=6^2=36
\]
soit :
\[
25-10x+x^2+4-4y+y^2=36
\]
ou encore :
\[
x^2+y^2=4y+10x+7.\qquad(2)
\]
Des égalités (1) et (2), on déduit :
\[
10y-6x-25=4y+10x+7
\]
et donc :
\[
6y=16x+32\qquad\text{soit}\qquad \boxed{y=\dfrac{8}{3}x+\dfrac{16}{3}}
\]

\item \`A l'aide de l'égalité (2), en remplaçant $y$ par $\dfrac{8}{3}x+\dfrac{16}{3}$, on obtient :
\begin{align*}
& x^2+\left(\dfrac{8}{3}x+\dfrac{16}{3}\right)^2 = 4\left(\dfrac{8}{3}x+\dfrac{16}{3}\right)+10x+7\\
\iff\ & x^2 + \dfrac{64}{9}x^2+2\times\dfrac{8}{3}x\times\dfrac{16}{3}+\dfrac{16^2}{3^2}=\dfrac{32}{3}x+\dfrac{64}{3}+10x+7\\
\iff\ & \dfrac{9}{9}x^2+\dfrac{64}{9}x^2+\dfrac{256}{9}x+\dfrac{256}{9}=\dfrac{96}{9}x+\dfrac{192}{9}+\dfrac{90}{9}x+\dfrac{63}{9}\\
\iff\ & 73x^2+256x+256=186x+255\\
\iff\ & 73x^2+70x+1=0.
\end{align*}

\item Sur la calculatrice, on :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.05,xscale=5]
\draw[gray] (-2,-20) grid[ystep=10,xstep=0.5] (1,140);
\clip (-2,-20) rectangle (1,140);
\draw[thick,->,>=latex] (-2,0) -- (1,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-20) -- (0,140);
\draw[violet,thick] plot[domain=-2:1,samples=70] (\x,{73*\x*\x+70*\x+1});
\foreach \x in {-1.5,-1,-0.5,0.5}
{
\node[below,scale=0.5] at (\x,0) {\x};
}
\foreach \y in {-10,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,110,120,130}
{
\node[left,scale=0.5] at (0,\y) {\y};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On peut alors conjecture que $f(x)=0$ deux fois car il y a 2 points d'intersection avec l'axe des abscisses.

\underline{Il semble donc y avoir 2 points possibles à notre problème.}

Cela semble cohérent : ces deux points sont les intersections des cercles de centres A et B et de rayons respectifs 3 et 6.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[gray] (-7,-5) grid (12,9);
\draw[thick,->,>=latex] (-7,0) -- (12,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-5) -- (0,9);
\fill (-3,5) circle (2pt) node[above] {A};
\fill (5,2) circle (2pt) node[above] {B};
\draw (-3,5) circle (3cm);
\draw (5,2) circle (6cm);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\newpage