
Avant de construire le tableau de variations de $f$, calculons la valeur des extremas locaux :

\begin{itemize}
\item il y a un maximum local pour $x=-4$, et :
\[
f(-4)=\sqrt{\dfrac{1}{3}\times(-4)^3+2\times(-4)^2+1}=\sqrt{-\dfrac{64}{3}+32+1}=\sqrt{\dfrac{35}{3}}.
\]
\item il y a un minimum local pour $x=0$ et $f(0)=1$.
\item $f(-6)=1$.
\item $f(3)=2\sqrt7$.
\end{itemize}

Le tableau de variations de $f$ est donc le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=violet!20,colorV=violet!20,colorL=violet!20]{$x$/0.75,$f(x)$/2}{$-6$,$-4$,0,$3$}
\tkzTabVar{-/1,+/$\sqrt{\frac{35}{3}}$,-/1,+/$2\sqrt7$}
\end{tikzpicture}
\end{center}