\begin{enumerate}
\item Posons $a<b$ sur \R. Alors :

\begin{tabular}{rl}
$f(b)-f(a)$ & $=b^2+2b-15-a^2-2a+15$\\
		    & $=\textcolor{red}{b^2-a^2}+2(b-a)$\\
		    & $=\textcolor{red}{\underline{(b-a)}(b+a)}+2\underline{(b-a)}$\\
		    & $=(b-a)(a+b+2)$
\end{tabular}

\medskip

$a<b$ donc $(b-a)>0$. Ainsi, $f(a)-f(b)$ est du signe de $(a+b+2)$.\\
La forme canonique de $f(x)$ est (voir exercice 1) :
\[
f(x)=(x+1)^2-16
\]
donc les coordonnées du sommet de la parabole qui représente $f$ est \coord{-1}{16} ($-1$ est la valeur de $x$ pour laquelle $(x+1)^2=0$).

\medskip

Ainsi, si $a<b<-1$, $f(b)-f(a)<0$ donc $f$ est décroissante sur $]-\infty ; -1[$.

Donc $f$ est croissante sur \intervOO{-1}{+\infty}.

\item $g(x)=-4x^2+2x+6$. Posons $a<b$ sur \R. Alors :

\begin{tabular}{rl}
$g(b)-g(a)$ & $=-4b^2+2b+6+4a^2-2a-6$\\
		    & $=4(a^2-b^2)+2(b-a)$\\
		    & $=-4(b^2-a^2)+2(b-a)$\\
		    & $=(b-a)[-4(b+a)+2]$\\
		    & $=(b-a)(2-4b-4a)$
\end{tabular}

\medskip

$a<b$ donc $(b-a)>0$. Ainsi, $g(b)-g(a)$ est du signe de $(2-4b-4a)$.

La forme canonique de $g(x)$ est :
\[
g(x)=-4\left[ \left( x-\dfrac{1}{4} \right)^2-\dfrac{25}{16} \right]
\]
donc les coordonnées du sommet de la parabole qui représente $g$ sont \coord{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{25}{4}} (car $-4\times\left(-\dfrac{25}{16}\right)=\dfrac{25}{4}$).

\medskip

Donc, si $a<b<\frac{1}{4}$, $g(b)-g(a)>0$, ce qui signifie que sur \intervOO{-\infty}{\dfrac{1}{4}}, $g$ est croissante.

Donc sur \intervOO{\dfrac{1}{4}}{+\infty}, $g$ est décroissante.

\item $h(x)=-3x^2-6x+24$. Posons $a<b$ sur \R. Alors :

\begin{tabular}{rl}
$h(b)-h(a)$ & $=-3b^2-6b+24+3a^2+6a-24$\\
		    & $=-3(b^2-a^2)-6(b-a)$\\
		    & $=(b-a)[-3(b+a)-6]$\\
		    & $=(b-a)(-3b-3a-6)$
\end{tabular}

\medskip

$a<b$ donc $(b-a)>0$. Ainsi, $h(b)-h(a)$ est du signe de $(-3b-3a-6)$.

La forme canonique de $h(x)$ est :
\[
h(x)=-3\big[(x+1)^2-9\big]
\]
donc les coordonnées du sommet de la parabole qui représente $h$ sont \coord{-1}{27} (car $-3\times(-9)=27$).

\medskip

Donc, si $a<b<-1$, $h(b)-h(a)>0$, ce qui signifie que sur \intervOO{-\infty}{-1}, $g$ est croissante et sur \intervOO{-1}{+\infty}, $h$ est décroissante.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont Autre possibilité }

\bigskip

Nous pouvons aussi utiliser la première forme des fonctions, la forme développée.

\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2+2x-15$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec $a=1$, $b=2$ et $c=-15$.

L'abscisse du sommet $S$ de la parabole est $x_S=-\frac{b}{2a}$, soit $x_S=-1$.

Son ordonnée est : \[y_S=f(-1)=(-1)^2+2\times(-1)-15=1-2-15=-16\] 
$a>0$ d'où le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,deltacl=0.5,espcl=2,color,colorV=violet!10,colorC=violet!10,colorL=violet!10]{$x$/0.8, $f$/1}{$-\infty$,$-1$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/$-16$,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $g(x)=-4x^2+2x+6$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec $a=-4$, $b=2$ et $c=6$.

L'abscisse du sommet $S$ de la parabole est : \[x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\times (-4)}=\frac{1}{4}\]
Donc son ordonnée est  : \[ y_S=g\left(\frac{1}{4}\right)=-4\left(\frac{1}{4}\right)^2+2\times\left(\frac{1}{4}\right)+6=-\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{24}{4}=\frac{25}{4}\]
$a<0$ d'où le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,deltacl=0.5,espcl=2,color,colorV=violet!10,colorC=violet!10,colorL=violet!10]{$x$/0.8, $g$/1}{$-\infty$,$\frac{1}{4}$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+/$\frac{25}{4}$,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $h(x)=-3x^2-6x+24$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec $a=-3$, $b=-6$ et $c=24$.

L'abscisse du sommet $S$ de la parabole est : \[x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\times (-3)}=-1\]
Donc son ordonnée est  : \[ y_S=h(-1)=-3(-1)^2-6\times(-1)+24=-3+6+24=27\]
$a<0$ d'où le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,deltacl=0.5,espcl=2,color,colorV=violet!10,colorC=violet!10,colorL=violet!10]{$x$/0.8, $h$/1}{$-\infty$,$-1$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+/$-27$,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}