\begin{enumerate}
\item La figure est :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\tkzInit[xmin=-1,xmax=11,ymax=10.2,ymin=-1]
\tkzClip
\tkzDefPoint[label=left:B](0,0){B}
\tkzDefPoint[label=right:C](10,0){C}
\tkzDefPoint[label=above:A](60:10){A}
\tkzDrawPoints(A,B,C)
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
%
\tkzDefBarycentricPoint(A=2,C=3)
\tkzGetPoint{M}
%
\tkzDefLine[orthogonal=through M](A,C)
\tkzGetPoint{m}
\tkzInterLL(M,m)(B,C)\tkzGetPoint{N}
%
\tkzDefLine[orthogonal=through N](M,m)
\tkzGetPoint{n}
\tkzInterLL(N,n)(B,A)\tkzGetPoint{P}
%
\tkzLabelPoints[above right](M)
\tkzLabelPoints[below](N)
\tkzLabelPoints[above left](P)
%
\tkzFillPolygon[pattern={north east lines}](M,N,P)
\tkzDrawPolygon(M,N,P)
%
\tkzMarkRightAngle(N,M,C)
\tkzMarkRightAngle(P,N,M)
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item M est sur [AC] donc a priori, $x\in\intervFF{0}{10}$.
Or, si $x<5$, $N\notin[BC]$ et donc le triangle MNP n'est pas défini.

\uline{Donc, $x\in\intervFF{5}{10}$.}

\item On sait que $\angle{ACN}=60\degres$ (car ABC est équilatéral). Donc, dans le triangle MNC rectangle en M :
\[ \tan\angle{NCM}=\dfrac{MN}{MC}\]
soit :
\[\tan 60\degres=\dfrac{MN}{10-x}.\]
On a alors :
\[ MN=\tan60\degres\times(10-x)\]
soit :
\[
\uline{MN=\sqrt{3}(10-x).}
\]

\item Dans le triangle MNC rectangle en M :
\[
\cos60\degres=\dfrac{MC}{NC}
\]
d'où:
\[ NC=\dfrac{MC}{\cos60\degres}=\dfrac{10-x}{\frac{1}{2}}\]
donc :
\[
\uline{NC=2(10-x)}.
\]

\item On sait que $(MN)\perp(AC)$ et $(MN)\perp(PN)$. Donc $(PN)~//~(AC)$ et par conséquent, $\angle{PNB}=\angle{ACB}=60\degres$ et $\angle{NPB}=\angle{CAB}=60\degres$. 

\uline{Donc PNB est équilatéral.}

\medskip

On en déduit que :
\begin{align*}
\text{PN} & =\text{BN}\\
& =10-\text{NC}\\
& = 10-2(10-x)\\
& = 10-20+2x\\
& = -10+2x\\
\Aboxed{\text{PN} & = 2(x-5)}
\end{align*}

\item Le triangle PNM est rectangle en N donc son aire est :
\begin{align*}
\mathscr{A}(x) & = \dfrac{1}{2}\times\text{MN}\times\text{PN}\\
& = \dfrac{1}{2}\times\sqrt{3}(10-x)\times2(x-5)\\
\Aboxed{\mathscr{A}(x)& = \sqrt{3}(10-x)(x-5)}
\end{align*}

\item La fonction $\mathscr{A}$ est une fonction du second degré qui s'annule en $x=5$ et $x=10$ ; par conséquent, son maximum est atteint pour $x=\dfrac{5+10}{2}=7,5$.

\item Pour représenter la fonction $\mathscr{A}$, on commence par faire un tableau de valeurs :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{violet!20}}c|*7{Sc|}}
\hline
$x$ & 5 & 6 & 7 & 7,5 & 8 & 9 & 10\\
\hline
$\mathscr{A}(x)$ & 0	& 6,928	& 10,392 & 10,825 & 	10,392 & 	6,928 & 0\\
\hline
\end{tabular}

\bigskip

\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[gray!50] (0,0) grid (11,11);
\draw[->,>=stealth'] (0,0) -- (11,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,0) -- (0,11);
\draw[thick,purple] plot[domain=5:10,samples=70] (\x,{sqrt(3)*(10-\x)*(\x-5)});
\foreach \x in {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
{
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
	\draw (0.1,\x) -- (-0.1,\x) node[left] {\x};
}
\node[below left] at (0,0) {O};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}