\exercice[style=A,N=4]{Aire d'un triangle dans un triangle équilatéral}

Soit ABC un triangle équilatéral tel que $\text{AB}=10$~cm.

Sur [AC], on place un point M tel que $\text{AM}=x$~cm.

La perpendiculaire à (AC) passant par M coupe [BC] en N.

La perpendiculaire à (MN) passant par N coupe [AB] en P.

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Montrer que les valeurs que peut prendre $x$ sont sur l'intervalle \intervFF{5}{10}.
\item Montrer que $\text{MN}=\sqrt{3}(10-x)$.
\item Montrer que $\text{NC}=2(10-x)$.
\item Montrer que PNB est un triangle équilatéral.

En déduire que $\text{PN}=2(x-5)$.
\item En déduire que l'aire du triangle MNP est :
\[\mathscr{A}(x)=\sqrt{3}(x-5)(10-x).\]
\item Pour quelle valeur de $x$ cette aire est-elle maximale ?
\item Représenter la fonction $\mathscr{A}$ dans un repère orthonormé.
\end{enumerate}