
\begin{enumerate}
\item  Le triangle BDC est rectangle en C. Donc, d'après le théorème de Pythagore : \[ BD^2=CD^2+CB^2\] \[ BD^2=4^2+4^2=16+16=32\] \[ \underline{BD=\sqrt{32}=4\sqrt{2}}\]

\medskip

Le triangle DAE est rectangle en A donc, d'après le théorème de Pythagore :
\[DE^2=DA^2+AE^2 \] \[ DE^2=4^2+8^2=16+64=80\] \[ \underline{DE=\sqrt{80}=4\sqrt{5}}\]

De plus, les triangles BAE et DAE sont isométriques (ils ont les mêmes mesures) donc BE = ED.

\item BE = ED donc le triangle BDE est isocèle en E.

De plus, $BE^2+DE^2 \neq BD^2$ donc il n'est pas rectangle.

\item Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est confondue avec la médiatrice du côté opposé à ce sommet. 

Or, O est le milieu de [BD]. Donc (EO) est la hauteur issue de E dans le triangle BDE. Ainsi, (EO) est perpendiculaire à (BD).

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Dans le triangle BOE rectangle en O, on a :
\[ BE^2=BO^2+EO^2\] \[ 80=8+EO^2\] \[ EO^2=80-8=72\] \[ \underline{OE=\sqrt{72}=6\sqrt{2}}\]

\item Le volume d'une pyramide est : \[ \mathcal{V}=\frac{1}{3}\mathcal{B}\times h\]
où $\mathcal{B}$ représente l'aire de sa base. Ainsi, le volume de la pyramide ABCDE est :
\[ \mathcal{V}=\frac{1}{3}\times(4 \times 4) \times 6\sqrt{2}\]
\[ \mathcal{V}= 32\sqrt{2}\]
\underline{Le volume de la pyramide est donc égal à $32\sqrt{2}$ cm$^3$}.
\end{enumerate}