
\begin{enumerate}
\item IJ = JK = KI car les triangles AIJ, AJK et AKI sont isométriques (ils ont les mêmes mesures).\\
$IK^2=AI^2+AK^2=2x^2$ donc $IK=x\sqrt{2}$.\\
De plus, les hauteurs ont une mesure égale à $\sqrt{2x^2-\dfrac{1}{2}x^2}=x\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{x}{2}\sqrt{3}$.\\
Donc l'aire de IJK est : \[ \mathcal{A}=\frac{\tfrac{x}{2}\sqrt{3}\times x\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}x^2\]

\item Le solide AIJK s'appelle un tétraèdre ou une pyramide. Son volume est donné par la formule :
\[ \mathcal{V}=\frac{1}{3}\mathcal{B}\times h \]
où ici, $\mathcal{B}$ représente l'aire de la base AKJ et $h$ la hauteur AI. Donc : \[ \mathcal{V}=\frac{1}{3}\times\frac{x^2}{2}\times x\] \[ \boxed{\mathcal{V}=\frac{1}{6}x^3}\]

\item Le volume du tétraèdre peut aussi se calculer à l'aide de la formule suivante : \[\mathcal{V}=\frac{1}{3}\times\mathcal{A}_{IJK}\times AH\]
Donc : \[ \frac{1}{6}x^3=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{6}}{4}x^2\times AH\]
D'où : \[ \frac{1}{6}x^3=\frac{\sqrt{6}}{12}x^2\times AH\]
Donc : \[ AH=\frac{1}{6}x^3\times\frac{12}{x^2\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}x\]
Soit : \[ \boxed{AH=\frac{\sqrt{6}}{3}x} \]
\end{enumerate}