\exercice[style=R,N=3,verif]{Cube et angle au centre}

Soit ABCDEFGH un cube d'arêtes de longueur $a$. Soit O le centre du carré ABCD. Soit I le milieu du segment [BC].

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite (EH) est orthogonale au plan (ABF).
\item Montrer que EBCH est un rectangle. Ses diagonales se coupent en O'.
\end{enumerate}

\item On appelle $\alpha$ la mesure de l'angle $\widehat{BO'C}$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les droites (O'I) et (EB) sont parallèles.
\item En déduire que $\widehat{CEB}=\dfrac{\alpha}{2}$.
\item Déterminer une valeur approchée de $\alpha$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (E) at (0,2);
\coordinate (F) at (2,2);
\coordinate (B) at (2,0);
\coordinate (C) at (2.7,.7);
\coordinate (G) at (2.7,2.7);
\coordinate (H) at (.7,2.7);
\coordinate (D) at (.7,.7);
\coordinate (I) at ($0.5*(B)+0.5*(C)$);
\coordinate (O') at ($0.5*(E)+0.5*(C)$);
\coordinate (O) at ($0.5*(A)+0.5*(C)$);
\coordinate (M) at ($0.7*(O')+0.3*(C)$);
\coordinate (N) at ($0.7*(O')+0.3*(B)$);
\draw (E) node[left] {E} -- (A) node[left] {A} -- (B) node[below] {B} -- (F) node[above] {F} -- (E) -- (H) node[above] {H} -- (G) node[right] {G} -- (C) node[below] {C} -- (B);
\draw (F) -- (G);
\draw[dashed] (A) -- (D) node[left] {D} -- (H);
\draw[dashed] (D) -- (C);
\node[below right] at (I) {I};
\draw[dashed] (B) -- (H);
\draw[dashed] (E) -- (C);
\draw[dashed] (O') -- (I);
\draw[dashed] (A) -- (C);
\draw[dashed] (D) -- (B);
\node[above right] at (O') {O'};
\draw[dashed] (O) node[below] {O} -- (O');
\clip (O') -- (C) -- (B) -- cycle;
\filldraw[fill=red!20,draw=red,opacity=.5] (O') circle (1em);
\node[red,fill=white,inner sep=2pt] at ($(O')+(1em,-1em)$) {$\alpha$};
\end{tikzpicture}
\end{center}