
\begin{enumerate}
\item La durée moyenne se calcule ainsi :
\[ \overline{x}=\frac{1\times 14+3\times 16+5\times 25+7\times 15+9\times 17+11\times 13}{14+16+25+15+17+13}\]
\[ \overline{x}=\frac{588}{100}\]
\[ \overline{x}=5,88\]
\underline{La durée moyenne d'un appel est donc d'à peu près 6 minutes.}

\item Le polygone des e.c.c. et e.c.d. est le suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=.1]
\draw[gray,dashed,ystep=10,xstep=2] (0,0) grid (12,100);
\draw[->,>=stealth'] (0,0) -- (13,0) node[below left,inner ysep=1em] {Durées};
\draw[->,>=stealth'] (0,0) -- (0,105) node[right] {Effectifs};
\foreach \x in {2,4,...,12}
	\draw (\x,.1) -- (\x,-.1) node[below] {\tiny \x};
\foreach \y in {10,20,...,100}
	\draw (.1,\y) -- (-.1,\y) node[left] {\tiny \y};
% e.c.c.
\foreach \x/\y in 
{%
0/0,%
2/14,%
4/30,%
6/55,%
8/70,%
10/87,%
12/100
}
{
\coordinate (M\x) at (\x,\y);
\fill[red] (\x,\y) ellipse (1.5pt and 15pt);
}
\draw[red] (M0) -- (M2) -- (M4) -- (M6) -- (M8) -- (M10) -- (M12) node[below right,fill=white,draw=red] {e.c.c.};

% e.c.d.

\foreach \x/\y in 
{%
0/100,%
2/86,%
4/70,%
6/45,%
8/30,%
10/13,%
12/0
}
{
\coordinate (M\x) at (\x,\y);
\fill[blue] (\x,\y) ellipse (1.5pt and 15pt);
}
\draw[blue] (M0) -- (M2) -- (M4) --  (M6) -- (M8) -- (M10) -- (M12)  node[above right,fill=white,draw=blue] {e.c.d.};

\draw[green!50!black,dashed] (0,50) -- (12,50);
\draw[purple,dotted] (0,25) -- (12,25);
\draw[purple,dotted] (0,75) -- (12,75);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item La médiane correspond graphiquement à l'abscisse du point d'intersection des polygones. Ici, $m_e \approx 5,5$.

\item Considérons les points $A_1(4;30)$ et $B_1(6;55)$. L'équation de la droite $\left(A_1B_1\right)$ est de la forme : $y=m_1x+p_1$.
\[ m_1=\frac{y_{B_1}-y_{A_1}}{x_{B_1}-x_{A_1}}=\frac{55-30}{6-4}=\frac{25}{2}\]
Ainsi, en remplaçant dans l'équation $x$ et $y$ par $x_{A_1}$ et $y_{A_1}$, on a :
\[ p_1=y_{A_1}-m_1x_{A_1}=30-\frac{25}{2}\times 4=-20\]
Donc $\boxed{\left(A_1B_1\right)\ :\ y=\dfrac{15}{2}x-20}$

\medskip

Considérons maintenant les points $A_2(4;70)$ et $B_2(6;45)$. L'équation de la droite $\left(A_2B_2\right)$ est de la forme : $y=m_2x+p_2$.
\[ m_2=\frac{y_{B_2}-y_{A_2}}{x_{B_2}-x_{A_2}}=\frac{45-70}{6-4}=-\frac{25}{2}\]
Ainsi, en remplaçant dans l'équation $x$ et $y$ par $x_{A_2}$ et $y_{A_2}$, on a :
\[ p_2=y_{A_2}-m_2x_{A_2}=70+\frac{25}{2}\times 4=120\]
Donc $\boxed{\left(A_2B_2\right)\ :\ y=-\dfrac{25}{2}x+120}$

\medskip

Soit $M\left(x_M;y_M\right)$ le point d'intersection de $\left(A_1B_1\right)$ et $\left(A_2B_2\right)$. Alors : $M \in \left(A_1B_1\right)$ et $M\in \left(A_2B_2\right)$ d'où : \[ y_M=\frac{25}{2}x_m-20=-\frac{25}{2}x_M+120\]
Donc : \[ \frac{25}{2}x_M+\frac{25}{2}x_M=120+20\]
Soit : \[ 25x_M=140\]
Ainsi : \[ x_M=\frac{140}{25}=5,6\]
\underline{La médiane de la série est donc $m_e=5,6$.}

\item Le premier quartile $Q_1$ est à peu près de $Q_1\approx 3,5$ (on regarde le polygone des e.c.c. au niveau de la droite à hauteur de 25) et $Q_3\approx 8,5$ (on regarde le polygone des e.c.c. au niveau de la droite à hauteur de 75).

\item On a le diagramme en boîte suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (12,0);
\foreach \x in {0,2,4,6,8,10,12}
	\draw (\x,.1) -- (\x,-.1) node[below] {\x};
\draw (0,1.5) -- (12,1.5);
\draw (0,1.25) -- (0,1.75);
\draw (12,1.25) -- (12,1.75);
\filldraw[fill=white,draw=black] (3.5,1.25) rectangle (8.5,1.75);
\draw (5.6,1.25) -- (5.6,1.75);
\draw[dotted] (3.5,1.25) -- (3.5,0) node[below] {$Q_1$};
\draw[dotted] (8.5,1.25) -- (8.5,0) node[below] {$Q_3$};
\draw[dotted] (5.6,1.25) -- (5.6,0) node[below] {$m_e$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\newpage