\begin{enumerate}
\item Utilisons la méthode par substitution ici.
\begin{align*}
\systeme{x-y=1,2x+3y=22} & \iff \begin{cases}x=\textcolor{red}{1+y}\\2\textcolor{red}{(1+y)}+3y=22\quad\textit{(on a remplacé $x$ par $1+y$)}\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}x=\textcolor{red}{1+y}\\2+2y+3y=22\quad\textit{(on a utilisé la distributivité)}\end{cases}\\
& \iff \systeme{x=1+y,5y=20}\\
& \iff \systeme{x=1+y,y=4}\\
& \iff \systeme{x=5,y=4}
\end{align*}
\underline{L'ensemble solution est donc $S=\{\coord{5}{4}\}$.}

\item On va ici utiliser la méthode d'addition  (méthode par combinaison linéaire).


\begin{align*}
\systeme{x+y=5@L_1,x-y=1@L_2} & \iff \sysautonum{L_{*}\longleftarrow}\systeme{2x=6@L_1+L_2,2y=4@L_1-L_2}\\
& \iff \systeme{x=3,y=2}
\end{align*}
\underline{L'ensemble solution est donc $S=\{\coord{3}{2}\}$.}

\newpage

\item On va ici utiliser la méthode par substitution.
\begin{align*}
\systeme{2x+y=8,9x-7y=36} & \iff \begin{cases}y=8-2x\\9x-7(8-2x)=36\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}y=8-2x\\9x-56+14x=36\end{cases}\\
& \iff \systeme{y=8-2x,23x=92}\\
& \iff \systeme{y=8-2x,x=4}\\
& \iff \systeme{y=0,x=4}
\end{align*}
\underline{L'ensemble solution est donc $S=\{\coord{4}{0}\}$.}

\item On va utiliser ici la méthode d'addition  (méthode par combinaison linéaire).

On commence par vouloir calculer $y$ donc on multiplie par 9 la première équation (\og 9 \fg{} étant le coefficient de $x$ dans la seconde équation) et on multiplie par 5 la seconde équation (\og 5 \fg{} étant le coefficient de $x$ dans la première équation).
\begin{align*}
\systeme{5x+3y=16@L_1,9x-7y=4@L_2} 
& \iff \sysautonum{L_{*}\longleftarrow}\systeme{45x+27y=144@9L_1,45x-35y=20@5L_2}\\
& \iff \sysautonum{L_{*}\longleftarrow}\systeme{45x+27y=144@L1,62y=124@L1-L2}\\
& \iff \systeme{45x+27y=144,y=2}
\end{align*}
Une fois trouvé $y$, on reprend le système initial et on trouve $x$ :
\begin{align*}
\systeme{5x+3y=16@L_1,9x-7y=4@L_2} 
& \iff \sysautonum{L_{*}\longleftarrow}\systeme{35x+21y=112@7L_1,27x-21y=12@3L_2}\\
& \iff \sysautonum{L_{*}\longleftarrow}\systeme{35x+21y=112@L1,62x=124@L1+L2}\\
& \iff \systeme{35x+21y=112,x=2}
\end{align*}
\underline{L'ensemble solution est donc $S=\{\coord{2}{2}\}$.}

\paragraph*{Autre façon de présenter :} afin de raccourcir la résolution, on peut aussi opter pour la rédaction suivante :
\begin{align*}
\systeme{5x+3y=16@L_1,9x-7y=4@L_2} 
& \iff \sysautonum{L_{*}\longleftarrow}\systeme{62y=124@9L1-5L2,62x=124@7L1+3L2}\\
& \iff \systeme{y=2,x=2}
\end{align*}

\item Nous allons utiliser ici la méthode par substitution.
\begin{align*}
\systeme{-3x+3y=14,x-2y=4} & \iff \begin{cases}-3x+3y=14\\x=4+2y\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}-3(4+2y)+3y=14\\x=4+2y\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}-12-6y+3y=14\\x=4+2y\end{cases}\\
& \iff \systeme{-3y=26,x=4+2y}\\
& \iff \begin{cases}y=-\frac{26}{3}\\x=4+2\times\left(-\frac{26}{3}\right)=\frac{12-52}{3}=-\frac{40}{3}\end{cases}
\end{align*}
\underline{L'ensemble solution est donc $S=\left\{\coord{-\dfrac{40}{3}}{-\dfrac{26}{3}}\right\}$.}

\item On va utiliser la méthode par addition  (méthode par combinaison linéaire).
\begin{align*}
\systeme{3x-2y=5@L_1,4x+7y=4@L_2} & \iff \sysautonum{L_{*}\longleftarrow}\systeme{-29y=8@4L1-3L2,29x=43@7L1+2L2}\\
& \iff \systeme{y=-\frac{8}{29},x=\frac{43}{29}}
\end{align*}
\underline{L'ensemble solution est donc $S=\left\{\coord{\dfrac{43}{29}}{-\dfrac{8}{29}}\right\}$.}

\item Nous avons le système suivant : $\systeme{4x-2y=8@L_1,-2x+y=-4@L_2}$.

On remarque que $-2L_2$ donne : $4x-2y=8$, soit $L_1$. Ainsi, $L_1 \iff L_2$. Le système est donc composé d'une unique équation : $y=2x-4$ (si on prend $L_2$). Il admet donc une infinité de solutions :
\[
\boxed{S=\big\{(x,2x-4),\ x\in\R\big\}}
\]

\item Nous avons le système suivant : $\systeme{\frac{3}{2}x+3y=7@L_1,3x+6y=14@L_2}$.

On remarque que $2L_1 \iff L_2$ donc le système est composé d'une unique équation : $y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{7}{3}$ donc il admet une infinité de solutions  :
\[
\boxed{S=\left\{ \coord{x}{-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{7}{3}}\right\}}
\]

\newpage

\item Nous avons le système : $\systeme{2x-5y=7@L_1,6x-15y=20@L_2}$.

On remarque que $3L_1 \iff 6x-15y=21$. Le système est donc équivalent à :
\[
\systeme{6x-15y=21,6x-15y=20}.
\]
Or, $L_1-L_2 \iff 0=1$, ce qui est impossible (en tout cas, dans mon monde... je ne sais pas ce qu'il en est dans le vôtre...). Donc le système n'admet aucune solution :
\[
\boxed{S=\varnothing}\qquad\text{(ensemble vide)}
\]
\end{enumerate}