\begin{enumerate}
\item Pour résoudre le système $\left\{\begin{array}{*7{c@{\;}}} & x^2 &-& &y^2& =& 7\\2&x^2&+&3&y^2&=&10\end{array}\right.$, nous allons poser :
\[
X = x^2\qquad\text{et}\qquad Y=y^2.
\]
Le système est donc équivalent à :
\begin{align*}
\systeme[XY]{X-Y=7@L_1,2X+3Y=10@L_2} & \iff \sysautonum{L_{*}\longleftarrow}\systeme[XY]{-5Y=4@2L_1-L_2,5X=31@3L_1+L_2}\\
& \iff \systeme[XY]{X=\dfrac{31}{5},Y=-\dfrac{4}{5}}\\
& \iff \begin{cases} x^2=\dfrac{31}{5}\\[8pt] y^2=-\dfrac{4}{5}\quad \longleftarrow\, \text{impossible}\end{cases}
\end{align*}

\underline{L'ensemble solution du système linéaire est donc $S=\varnothing$.}

\item En posant $X=x^2$ et $Y=y^2$, on a :
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{*7{c@{\;}}} 2& x^2 &-& 3&y^2& =& 1\\2&x^2&+&3&y^2&=&7\end{array}\right. 
& \iff \systeme[XY]{2X-3Y=1@L_1,2X+3Y=7@L_2}\\
& \iff \sysautonum{L_{*}\longleftarrow}\systeme[XY]{6Y=6@L_2-L_1,4X=8@L_1+L_2}\\
& \iff \systeme[XY]{Y=1,X=2}\\
& \iff \begin{cases}x^2=2\\y^2=1\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}x=\sqrt2\text{ ou }x=-\sqrt2\\y=1\text{ ou }y=-1\end{cases}
\end{align*}
L'ensemble solution du système linaire est donc :
\[
\boxed{S=\Big\{ \coord{\sqrt2}{1},\coord{\sqrt2}{-1},\coord{-\sqrt2}{1},\coord{-\sqrt2}{-1} \Big\}}
\]

\item En posant $X=\sqrt{x}$ et $Y=\sqrt{y}$, on a:
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{*7{c@{\;}}} 5& \sqrt{x} &-& 3&\sqrt{y}& =& 14\\2&\sqrt{x}&+&2&\sqrt{y}&=&12\end{array}\right.
& \iff \systeme[XY]{5X-3Y=14@L_1,2X+2Y=12@L_2}\\
& \iff \sysautonum{L_{*}\longleftarrow}\systeme[XY]{5X-3Y=14@L_1,X+Y=6@\frac{1}{2}L_2}\\
& \iff \sysautonum{L_{*}\longleftarrow}\systeme[XY]{8X=32@L_1+3L_2,-8Y=-16@L_1-5L_2}\\
& \iff X=\sqrt{x}=4\text{ et }Y=\sqrt{y}=2\\
& \iff x=16\text{ et }y=4
\end{align*}
\underline{Donc $S=\{\coord{16}{4}\}$.}
\end{enumerate}