\begin{enumerate}
\item ${\cal D}_1\;:\;y=5x+3$ et ${\cal D}_2\;:\;y=-5x+7$.

Les droites ont pour coefficients directeurs respectifs 5 et $-5$, donc deux nombres différents; par conséquent, elles ne sont pas parallèles. Elles sont donc sécantes (elles se coupent).

Posons alors $M\coord{x_M}{y_M}$ ce point d'intersection.
\begin{itemize}
\item $M\in{\cal D}_1 \iff y_M=5x_M+3$ (ses coordonnées vérifient l'équation de ${\cal D}_1$;
\item $M\in{\cal D}_2 \iff y_M=-5x_M+7$ (ses coordonnées vérifient l'équation de ${\cal D}_2$.
\end{itemize}

Ainsi,
\begin{align*}
y_M=5x_M+3=-5x_M+7 & \iff 5x_M+5x_M=7-3\\
& \iff 10x_M=4\\
& \iff x_M=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}.
\end{align*}
De plus,
\[
y_M=5x_M+3=5\times\dfrac{2}{5}+3=2+3=5.
\]
\underline{Ainsi, les droites se coupent en un point de coordonnées \coord{\dfrac{2}{5}}{5}.}

\item ${\cal D}_1\;:\;y=-8x-5$ et ${\cal D}_2\;:\;y=3x-2$.

Les droites ont pour coefficients directeurs respectifs $-8$ et $3$, donc deux nombres différents; par conséquent, elles ne sont pas parallèles. Elles sont donc sécantes (elles se coupent).

Posons alors $M\coord{x_M}{y_M}$ ce point d'intersection.
\begin{itemize}
\item $M\in{\cal D}_1 \iff y_M=-8x_M-5$ (ses coordonnées vérifient l'équation de ${\cal D}_1$;
\item $M\in{\cal D}_2 \iff y_M=3x_M-2$ (ses coordonnées vérifient l'équation de ${\cal D}_2$.
\end{itemize}

Ainsi,
\begin{align*}
y_M=-8x_M-5=3x_M-2 & \iff -8x_M-3x_M=-2+5\\
& \iff -11x_M=3\\
& \iff x_M=-\dfrac{3}{11}.
\end{align*}
De plus,
\[
y_M=3x_M-2=-3\times\dfrac{3}{11}-2=\dfrac{-9-22}{11}=-\dfrac{31}{11}
\]
\underline{Ainsi, les droites se coupent en un point de coordonnées \coord{-\dfrac{3}{11}}{-\dfrac{31}{11}}.}

\newpage

\item ${\cal D}_1\;:\;y=\dfrac{1}{2}x+4$ et ${\cal D}_2\;:\;y=x+8$.

Les droites ont pour coefficients directeurs respectifs $\dfrac{1}{2}$ et $1$, donc deux nombres différents; par conséquent, elles ne sont pas parallèles. Elles sont donc sécantes (elles se coupent).

Posons alors $M\coord{x_M}{y_M}$ ce point d'intersection.
\begin{itemize}
\item $M\in{\cal D}_1 \iff y_M=\dfrac{1}{2}x_M+4$ (ses coordonnées vérifient l'équation de ${\cal D}_1$;
\item $M\in{\cal D}_2 \iff y_M=x_M+8$ (ses coordonnées vérifient l'équation de ${\cal D}_2$.
\end{itemize}

Ainsi,
\begin{align*}
y_M=\dfrac{1}{2}x_M+4=x_M+8 & \iff \dfrac{1}{2}x_M-x_M=8-4\\
& \iff -\dfrac12x_M=4\\
& \iff x_M=-8.
\end{align*}
De plus,
\[
y_M=x_M+8=-8+8=0.
\]
\underline{Ainsi, les droites se coupent en un point de coordonnées \coord{-8}{0}.}

\item ${\cal D}_1\;:\;y=3x+4$ et ${\cal D}_2\;:\;y=3x+8$.

Les droites ont les mêmes coefficients directeurs (3) donc elles sont parallèles.

De plus, leurs ordonnées à l'origine (respectivement 4 et 8) sont différentes, donc les deux droites sont distinctes.

\underline{Par conséquent, elles ne se coupent pas.}
\end{enumerate}