\begin{enumerate}
\item  Un logiciel de calcul donne : $\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)=\dfrac{1+\sqrt5}{4}$.

D'après la formule du cours :
\[
\forall x\in\R,\qquad \cos^2x+\sin^2x=1
\]
donc, en prenant $x=\dfrac{\pi}{5}$, on a :
\begin{align*}
\left(\cos\dfrac{\pi}{5}\right)^2+\left(\sin\dfrac{\pi}{5}\right)^2=1 & 
\iff \left(\dfrac{1+\sqrt5}{4}\right)^2+\left(\sin\dfrac{\pi}{5}\right)^2=1\\
& \iff \left(\sin\dfrac{\pi}{5}\right)^2=1-\left(\dfrac{1+\sqrt5}{4}\right)^2\\
& \iff \left(\sin\dfrac{\pi}{5}\right)^2 = \dfrac{5-\sqrt5}{8}\\
& \iff \sin\dfrac{\pi}{5} = -\sqrt{\dfrac{5-\sqrt5}{8}}\text{ ou }\sin\dfrac{\pi}{5} = \sqrt{\dfrac{5-\sqrt5}{8}}.
\end{align*}
Or, $0 < \dfrac{\pi}{5} < \pi$ donc $\sin\dfrac{\pi}{5}>0$.

\medskip

\underline{Ainsi, $\sin\dfrac{\pi}{5} = \sqrt{\dfrac{5-\sqrt5}{8}}$.}


\item Soit $x$ un réel de l'intervalle \intervFF{\dfrac{\pi}{2}}{\pi} tel que $\sin(x)=\dfrac{4}{5}$.

D'après la formule du cours,
\begin{align*}
\big(\cos x\big)^2 + \big(\sin x\big)^2=1 & \iff \big(\cos x\big)^2=1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2\\
& \iff \big(\cos x\big)^2 = \dfrac{9}{25}\\
& \iff \cos x = -\sqrt{\dfrac{9}{25}}=-\dfrac{3}{5}\text{ ou }\cos x = \sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}.
\end{align*}

Or, $x\in\intervFF{\dfrac{\pi}{2}}{\pi}$ donc $\cos x<0$.

\underline{Ainsi, $\cos x=-\dfrac{3}{5}$.}

\item On donne $\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$.

D'après la formule du cours,
\begin{align*}
\left(\cos\dfrac{7\pi}{12}\right)^2+\left(\sin\dfrac{7\pi}{12}\right)^2=1 & \iff
\left(\sin\dfrac{7\pi}{12}\right)^2=1-\left(\cos\dfrac{7\pi}{12}\right)^2\\
& \iff \left(\sin\dfrac{7\pi}{12}\right)^2=1-\left(\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\right)^2\\
& \iff \left(\sin\dfrac{7\pi}{12}\right)^2=\dfrac{2+\sqrt3}{4}.
\end{align*}

Or, $0<\dfrac{7\pi}{12}<\pi$ donc $\sin\dfrac{7\pi}{12}>0$.

De plus, 
\[
\left(\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\right)^2=\dfrac{2+\sqrt3}{4}=\left(\sin\dfrac{7\pi}{12}\right)^2.
\]

\underline{Ainsi, $\sin\dfrac{7\pi}{12}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}$.}
\end{enumerate}
\newpage