
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8,every node/.style={scale=0.8}]
\draw[gray,dotted] (-5,-5) grid (6,3);
\draw[->,>=stealth',thick] (-5,0) -- (6,0);
\draw[->,>=stealth',thick] (0,-5) -- (0,3);
\draw[->,>=stealth',thick,red] (0,0) -- (0,1) node[left,midway] {$\vv{j}$};
\draw[->,>=stealth',thick,red] (0,0) -- (1,0) node[below,midway] {$\vv{i}$};
\coordinate (A) at (1,2);
\coordinate (B) at (3,-4);
\coordinate (C) at (5,0);
\coordinate (I) at (2,-1);
\coordinate (D) at (-4,-3);
\coordinate (G) at (0,{-5/3});
\coordinate (M) at (4,{-1/3});
\fill (A) circle (1pt) node[above] {$A$};
\fill (B) circle (1pt) node[below] {$B$};
\fill (C) circle (1pt) node[above right] {$C$};
\fill (I) circle (1pt) node[below left] {$I$};
\fill (D) circle (1pt) node[above left] {$D$};
\fill[red] (G) circle (1pt) node[above left,red] {$G$};
\fill[blue] (M) circle (1pt) node[below] {$M$};
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (A) -- (B) -- (D) -- cycle;
\draw (I) circle ({sqrt(10)});
\draw[blue,->,>=stealth'] (G) -- (A);
\draw[blue,->,>=stealth',dashed] (G) -- (B);
\draw[blue,->,>=stealth'] (A) -- (M);
\draw (D) -- (C);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $I$ est le milieu de $[AB]$ donc :
\[ x_I=\frac{x_A+x_B}{2}=2\]
\[y_I=\frac{y_A+y_B}{2}=-1\]
\underline{Donc $I(2;-1)$.}

\item $IC=\sqrt{(x_C-x_I)^2+(y_C-y_I)^2}$\\$IC=\sqrt{(5-2)^2+(0-(-1))^2}$\\$IC=\sqrt{9+1}$\\$IC=\sqrt{10}$

\medskip

$IB=\sqrt{(x_B-x_I)^2+(y_B-y_I)^2}$\\
$IB=\sqrt{(3-2)^2+(-4-(-1))^2}$\\
$IB=\sqrt{1+9}$\\
$IB=\sqrt{10}$

\medskip

$IA=\sqrt{(x_A-x_I)^2+(y_A-y_I)^2}$\\
$IA=\sqrt{(1-2)^2+(-2-(-1))^2}$\\
$IA=\sqrt{1+9}$\\
$IA=\sqrt{10}$

\medskip

Ainsi, $IA=IB=IC$ donc $A$, $B$ et $C$ sont sur le cercle de centre $I$ et de rayon $\sqrt{10}$.

\item $ABC$ est inscrit dans $\mathscr{C}$, qui a pour diamètre $[AC]$. Donc $ABC$ est rectangle en $C$.\\
De plus :

\medskip

$BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}$\\
$BC=\sqrt{(5-3)^2+(0-(-4))^2}$\\
$BC=\sqrt{4+16}$\\
$BC=2\sqrt{5}$

\medskip

et

\medskip

$AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}$\\
$AC=\sqrt{(5-1)^2+(0-2)^2}$\\
$AC=\sqrt{16+4}$\\
$AC=2\sqrt{5}$

\medskip

Donc $AC=BC$. Ainsi, $ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $C$.

\item $\vv{DI}(x_I-x_D;y_Y-y_D)$ donc $\vv{DI}(6;2)$.\\
De plus, $\vv{IC}(x_C-x_I;y_C-y_I)$ donc $\vv{IC}(3;1)$.

\medskip

Ainsi, $\vv{IC}=\dfrac{1}{2}\vv{DI}$. Les deux vecteurs sont donc colinéaires. Ils ont un point en commun (I), donc $D$, $I$ et $C$ sont alignés.

\item $G$ est le centre de gravité du triangle $BAD$ donc :

\begin{align*}
x_G & = \frac{x_B+x_A+x_D}{3}  = \frac{3+1+(-4)}{3}  = 0\\
y_G & = \frac{y_B+y_A+y_D}{3} = \frac{-4+2+(-3)}{3} = \frac{-5}{3}
\end{align*}

Ainsi, $G\left(0;-\frac{5}{3}\right)$.

\item Par définition, $\vv{GA}+\vv{GB}+\vv{GD}=\vv{0}$.

Donc, $\vv{GA}+\vv{GB}=-\vv{GD}$.

Ainsi, $\vv{GM}=-\vv{GD}$. 

Les deux vecteurs sont donc colinéaires et ont un point en commun ($G$). Par conséquent, $D$, $G$ et $M$ sont alignés.

\medskip

Or, $I$ appartient à $(DG)$ car I est le milieu de $[AB]$ et $(DG)$ est la médiane issue de $D$ dans le triangle $BAD$.

De plus, $D$, $I$ et $C$ sont alignés. Donc $D$, $G$, $I$, $M$ et $C$ sont alignés.
\end{enumerate}