\begin{enumerate}
\item Dans le triangle équilatéral DEC, la hauteur issue de E coupe [DC] en son milieu, donc coupe [AB] en son milieu. Ainsi, l'abscisse de E est $\dfrac{1}{2}$.

Pour trouver l'ordonnée de E, on doit calculer la hauteur de DEC, que l'on ajoutera à 1 (l'ordonnée de D).

Posons H le pied de la hauteur issue de E dans DEC. Alors, DEH est rectangle en H et, d'après le théorème de Pythagore,
\begin{align*}
EH^2 & = DE^2-DH^2\\
& = 1^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\\
& = 1-\dfrac{1}{4}\\
& = \dfrac{3}{4}\\
EH & = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
\end{align*}

Ainsi, $\boxed{E\coord{\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}$.

\medskip

Des calculs précédents, on peut déduire que $\boxed{F\coord{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}}$.

\item D'après la question précédente, $\vv{AF}\dbinom{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$ et $\vv{AE}\dbinom{\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Deux vecteurs $\vv{u}\dbinom{x}{y}$ et $\vv{v}\dbinom{x'}{y'}$ sont colinéaires si $xy'=yx'$.

Dans notre cas, nous avons d'une part :
\begin{align*}
xy'& =\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\
& = 1^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\\
& = 1-\frac{3}{4}\\
xy'& = \frac{1}{4}
\end{align*}
et d'autre part :
\begin{align*}
yx' & = \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\\
yx'& = \frac{1}{4}.
\end{align*}

Ainsi, $xy'=yx'$ donc $\vv{AE}$ et $\vv{AF}$ sont colinéaires. Ils ont de plus un point en commun, donc \underline{les points A, E et F sont alignés.}
\end{enumerate}