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\newcommand{\chapHead}[1]{% #1 = Titre
\begin{tikzpicture}
\fill[blue!20] (0,0) rectangle+(\textwidth,-1.5cm);
\fill[orange!5] (0,-1) rectangle +(\textwidth,-5cm);
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% "Article"
\node[below] at (14cm,-0.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\color{white}\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont{\Large Fiche}

\bigskip

\emph{\small Stéphane PASQUET}
\end{center}
\end{minipage}
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% Titre
\node[below right] (titre) at (0.25cm,-1.5cm) {%
\begin{minipage}{11cm}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{purple}\Huge #1
\end{minipage}
};
\node[below right,text=purple] (url) at ($(titre.south west)+(0,-1em)$) {\fontfamily{lmss}\fontshape{it}\selectfont Disponible sur \url{http://www.mathweb.fr}};
\node[below right] at ($(url.south west)+(0,-0.5)$) {\begin{minipage}{0.65\textwidth}
\itshape
Voici une fiche dont Loan pourra se servir pour réviser ce qui concerne les coordonnées. Il y a en plus un exercice à la fin qu'il pourra tenter de faire sans regarder la correction.
\end{minipage}};
% Date
\node at (14cm,-5.5cm) {%
\begin{minipage}{4cm}
\begin{center}
\fontfamily{lmss}\fontseries{bx}\selectfont\color{black}\today
\end{center}
\end{minipage}
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\end{tikzpicture}
}
% Sections
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% Subsections
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% Paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
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% Itemize, enumerate

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% footpage

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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\chapHead{Coordonnées}

\section*{Longueur d'un segment}

Si A\coord{x_A}{y_A} et B\coord{x_B}{y_B} sont deux points quelconques d'un repère orthonormé, alors:
\[
\text{AB}=\sqrt{\big(x_B-x_A\big)^2+\big(y_B-y_A\big)^2}\;.
\]

\subsection*{Dans quel cas utiliser cette formule ?}

\begin{itemize}
\item Pour calculer une longueur directement ;
\begin{itemize}
\item Calculer une longueur n'a pas vraiment d'intér\^et sans question supplémentaire donc il est rare d'avoir à faire cela sans autre chose par la suite comme par exemple ce qui suit :
\end{itemize}
\item Pour déterminer la nature d'un triangle ;

Dans ce cas, on peut calculer le carré de la longueur de chaque carrés pour éviter la racine carrée :
\begin{itemize}
\item Si $\text{AB}^2=\text{AC}^2=\text{BC}^2$, alors ABC est équilatéral ;
\item Si $\text{AB}^2=\text{AC}^2$, alors ABC est isocèle en A ;
\item Si $\text{AB}^2+\text{AC}^2=\text{BC}^2$, alors ABC est rectangle en A.
\end{itemize}
\item Pour montrer que plusieurs points sont sur un m\^eme cercle ;
\begin{itemize}
\item Si $\text{AB}^2=\text{AC}^2=\text{AD}^2$ alors B, C et D sont sur le cercle de centre A et de rayon $\text{AB}$ (par exemple).
\end{itemize}
\end{itemize}

\section*{Milieu d'un segment}

Si I\coord{x_I}{y_I} est le milieu d'un segment [AB], où A\coord{x_A}{y_A} et B\coord{x_B}{y_B}, alors :
\[
x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}\qquad ; \qquad y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}\;.
\]

\subsection*{Dans quels cas utiliser cette formule ?}

\begin{itemize}
\item Pour calculer directement les coordonnées du milieu d'un segment ;
\item Pour calculer les coordonnées d'une extrémité du segment connaissant celles de l'autre extrémité et du milieu (voir page suivante)

\newpage

Par exemple, si on sait que I\coord{3}{-2} est le milieu de [AB] où A\coord{-1}{2}, alors on peut trouver les coordonnées du point B avec :

\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
x_I & =\dfrac{x_A+x_B}{2}\\
3 & = \dfrac{-1+x_B}{2}\\
3\times2&=-1+x_B\\
6 & =-1+x_B\\
6+1 & =x_B\\
7 & = x_B
\end{align*}

%\columnbreak
\begin{align*}
y_I & =\dfrac{y_A+y_B}{2}\\
-2 & = \dfrac{2+y_B}{2}\\
-2\times2&=2+y_B\\
-4 & =2+y_B\\
-4-2 & =y_B\\
-6 & = y_B
\end{align*}
\end{multicols}

\underline{Donc B\coord{7}{-6}.}
\end{itemize}

\section*{Exercice : lien avec les équations}

Dans un repère (O;I,J), on considère les points A\coord{x}{-1}, B\coord{-2}{-3} et C\coord{3}{x}.

\begin{enumerate}
\item Trouver toutes les valeurs de $x$ telles que le triangle ABC soit isocèle en B.
\item Trouver toutes les valeurs de $x$ telles que le triangle ABC soit rectangle en B.
\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{Réponses.}

Calculons dans un premier temps :

\begin{multicols}{3}
\small
$\begin{aligned}[t]
\text{AB}^2 & = \big(x_B-x_A)\big)^2+\big(y_B-y_A\big)^2\\
\text{AB}^2& = (-2-x)^2+\big(-3-(-1)\big)^2\\
\text{AB}^2& = \big[-1\times(2+x)\big]^2+(-3+1)^2\\
\text{AB}^2& = (-1)^2(2+x)^2+(-2)^2\\
\text{AB}^2& = (2+x)^2+4\\
\text{AB}^2& = 4+2\times2\times x + x^2+4\\
\text{AB}^2& = x^2+4x+8.
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
\text{AC}^2 & = \big(x_C-x_A)\big)^2+\big(y_C-y_A\big)^2\\
\text{AC}^2& = (3-x)^2+\big(x-(-1)\big)^2\\
\text{AC}^2& = (3-x)^2+(x+1)^2\\
\text{AC}^2& = 9-6x+x^2+x^2+2x+1\\
\text{AC}^2& = 2x^2-4x+10.
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
\text{BC}^2 & = \big(x_C-x_B)\big)^2+\big(y_C-y_B\big)^2\\
\text{BC}^2& = \big(3-(-2)\big)^2+\big(x-(-3)\big)^2\\
\text{BC}^2& = (3+2)^2+(x+3)^2\\
\text{BC}^2& = 25+x^2+6x+9\\
\text{BC}^2& = x^2+6x+34.
\end{aligned}$
\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item Si ABC est isocèle en B, alors  :
\begin{align*}
\text{AB}=\text{BC} & \Leftrightarrow \text{AB}^2=\text{BC}^2\\
& \Leftrightarrow x^2+4x+8=x^2+6x+34\\
& \Leftrightarrow 2x+26=0\\
& \Leftrightarrow 2x=-26\\
& \Leftrightarrow \underline{x = -13}
\end{align*}

\underline{Ainsi, pour $x=-13$, ABC est isocèle en B.}

\bigskip

\item Si ABC est rectangle en B, alors :
\begin{align*}
\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2 & \Leftrightarrow 2x^2-4x+10=(x^2+4x+8)+(x^2+6x+34)\\
& \Leftrightarrow 2x^2-4x+10=2x^2+10x+42\\
& \Leftrightarrow -14x=32\\
& \Leftrightarrow x=-\dfrac{32}{14}\\
& \Leftrightarrow \boxed{x = -\dfrac{16}{7}}
\end{align*}

\underline{Ainsi, pour $x=-\dfrac{16}{7}$, ABC est rectangle en B.}
\end{enumerate}
\end{document}