\documentclass{article}
\usepackage[OT1]{fontenc}
\usepackage{pas-fiche}
\usepackage{pas-math}
\classe{Seconde}
\begin{document}
\chapitre{Les vecteurs (coordonn�es)}

Soient A\coord{x_A}{y_A} et B\coord{x_B}{y_B}.

\bigskip

\titre{Coordonn�es d'un vecteur}
\[
\vv{\text{AB}}\dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}
\]

\titre{Longueur d'un segment}
\[
\text{AB}=\sqrt{\big(x_B-x_A)^2+\big(y_B-y_A\big)^2}.
\]

\bigskip

\titre{Milieu du segment [AB]}
Si I\coord{x_I}{y_I} est le milieu de [AB], alors :
\[
\text{I}\coord{\frac{x_A+x_B}{2}}{\frac{y_A+y_B}{2}}
\]

\titre{Vecteurs colin�aires}

Deux vecteurs $\vv{u}\dbinom{x}{y}$ et $\vv{v}\dbinom{x'}{y'}$ sont dits \textbf{colin�aires} si :
\[
xy' = x'y.
\]
\paragraph*{Exemple.} $\vv{u}\dbinom{1}{-2}$ et $\vv{v}\dbinom{-3}{6}$. Alors,
\[
\begin{cases}
xy'=1\times6=6\\
x'y=-3\times(-2)=6
\end{cases}\qquad\text{donc}\qquad xy'=x'y\qquad\text{donc}\qquad\vv{u}\text{ et }\vv{v}\text{ sont colin�aires.}
\]
\paragraph*{Remarque :} si $\vv{\text{AB}}$ et $\vv{\text{CD}}$ sont colin�aires, cela signifie que (AB) et (CD) sont parall�les.

\bigskip

\titre{\'Egalit� vectorielle (m�thode)}

Soient A\coord{-1}{2}, B\coord{3}{-2} et C\coord{5}{-3}. On pose D\coord{x_D}{y_D}. Trouver les coordonn�es de D telles que $\vv{\text{AB}}=\vv{\text{DC}}$.
\begin{align*}
\vv{\text{AB}}=\vv{\text{DC}} & \iff \dbinom{3-(-1)}{-2-2}=\dbinom{5-x_D}{-3-y_D}\\
& \iff \begin{cases}
4=5-x_D\\
-4=-3-y_D
\end{cases}\\
& \iff
\begin{cases}
x_D=5-4=1\\
y_D=-3+4=1
\end{cases}\\
& \iff \text{D}\coord{1}{1}.
\end{align*}
\paragraph*{Remarque :} $\vv{\text{AB}}=\vv{\text{DC}}$ signifie que ABCD est un parall�logramme.
\end{document}