\documentclass[10pt]{book}
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\usepackage{pas-math}

\begin{document}

\chapter*{\'Equations et inéquations}


\section*{\'Equation 1 (équation produit)}

Résoudre l'équation :
\[
(2x+1)(x-5)(3x-6)=0.
\]

\section*{Solution}

Cette équation est une \og équation-produit \fg, c'est-à-dire que le membre de gauche est un produit de facteurs (ici, les facteurs sont ce qu'il y a entre les parenthèses ; il y a donc trois facteurs).\\
On utilise donc le \og Théorème du produit nul \fg{} pour résoudre cette équation :

\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{align*}
2x+1&=0\\
2x&=-1\\
x&=-\dfrac{1}{2}
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5mm}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (0,2);
\node[circle,draw,fill=white] at (0,1) {ou};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{align*}
x-5&=0\\
x&=5
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5mm}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (0,2);
\node[circle,draw,fill=white] at (0,1) {ou};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{align*}
3x+6&=0\\
3x&=-6\\
x&=\dfrac{-6}{3}\\
x&=-2
\end{align*}
\end{minipage}

L'ensemble solution de l'équation est donc :
\[ \boxed{S=\left\lbrace -\dfrac{1}{2} ; 5 ; -2\right\rbrace} \]

\section*{\'Equation 2 : avec un facteur commun}

Résoudre l'équation :
\[ (3x+5)(2x-1) = (5x+3)(3x+5).\]

\section*{Solution}

La première chose à faire est de se ramener à une équation dont le membre de droite est égal à 0 : 
\[ (3x+5)(2x-1) - (5x+3)(3x+5) = 0.\]
Ensuite, on doit impérativement factoriser pour pouvoir appliquer le \og Théorème du produit nul \fg. On voit ici que $(3x+5)$ est un facteur commun donc on factorise par $(3x+5)$, ce qui donne :
\[ (3x+5)[(2x-1)-(5x+3)]=0.\]
Ensuite, on enlève les parenthèses dans les crochets :
\[ (3x+5)[2x-1-5x-3]=0,\]
puis on simplifie :
\[ (3x+5)(-3x-4)=0.\]
On applique alors le \og Théorème du produit nul \fg{} :

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{align*}
3x+5 & =0\\
3x & =-5\\
x & =-\dfrac{5}{3}
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5mm}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (0,2);
\node[circle,draw,fill=white] at (0,1) {ou};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{align*}
-3x-4&=0\\
-3x&=4\\
x&=-\dfrac{4}{3}
\end{align*}
\end{minipage}

L'ensemble solution de l'équation est donc : $\boxed{S=\left\lbrace -\dfrac{5}{3} ; -\dfrac{4}{3} \right\rbrace}$.

\section*{\'Equation 3 : avec une identité remarquable}

Résoudre l'équation : 
\[ (2x-3)^2=(x+1)^2.\]

\section*{Solution}

La première étape est toujours de tout mettre à gauche :
\[ (2x-3)^2-(x+1)^2=0.\]
On reconna\^it à gauche une identité remarquable de la forme $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.\\
Comme on veut factoriser, on applique la formule :
\[ [(2x-3)-(x+1)][(2x-3)+(x+1)]=0\;,\]
soit :
\[ [2x-3-x-1][2x-3+x+1]=0\;,\]
c'est-à-dire :
\[ (x-4)(3x-2)=0.\]
On a dont une équation produit ; on applique alors le \og Théorème du produit nul \fg{} :

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{align*}
x-4 & =0\\
x & =4
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5mm}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (0,2);
\node[circle,draw,fill=white] at (0,1) {ou};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{align*}
3x-2&=0\\
3x&=2\\
x&=\dfrac{2}{3}
\end{align*}
\end{minipage}

L'ensemble solution de l'équation est donc :
\[ 
\boxed{S=\left\lbrace 4 ; \dfrac{2}{3} \right\rbrace}
\]

\section*{\'Equation 4 : avec la m\^eme identité remarquable}

Résoudre l'équation :
\[ (5x+7)^2=3.\]

\section*{Solution}

On commence par tout mettre à gauche :
\[ (5x+7)^2-3=0.\]
Pour faire appara\^itre l'identité remarquable précédente, on écrit \og 3 \fg{} sous la forme \og $\left(\sqrt{3}\right)^2$ \fg, ce qui donne :
\begin{align*}
(3x+7)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2& =0\\
(3x+7-\sqrt{3})(3x+7+\sqrt{3})=0.
\end{align*}
Nous avons un produit nul, donc on applique le \og Théorème du produit nul \fg{} :

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{align*}
3x+7-\sqrt{3} & =0\\
3x & =-7+\sqrt{3}\\
x = \dfrac{-7+\sqrt{3}}{3}
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5mm}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (0,2);
\node[circle,draw,fill=white] at (0,1) {ou};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{align*}
3x+7+\sqrt{3} & =0\\
3x & =-7-\sqrt{3}\\
x = \dfrac{-7-\sqrt{3}}{3}
\end{align*}
\end{minipage}

L'ensemble solution de l'équation est donc : $
\boxed{S=\left\lbrace \dfrac{-7-\sqrt{3}}{3} ; \dfrac{-7+\sqrt{3}}{3} \right\rbrace}$

\section*{\'Equation 5 : un mélange}

Résoudre l'équation :
\[ (6x-5)^2=(6x-5)(5x-7).\]

\section*{Solution}

On commence par tout mettre à gauche :

\[ (6x-5)^2-(6x-5)(5x-7)=0\;,\]
que l'on peut aussi écrire :
\[ (6x-5)(6x-5)-(6x-5)(5x-7)=0.\]

On factorise donc le membre de gauche par $(6x-5)$ :

\begin{align*}
(6x-5)[(6x-5)-(5x-7)& =0\\
(6x-5)(6x-5-5x+7)& =0\\
(6x-5)(x+2) &=0.
\end{align*}

On a un produit nul donc, d'après le Théorème du Produit Nul :

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{align*}
6x-5 & =0\\
6x & =5\\
x = \dfrac{5}{6}
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5mm}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (0,2);
\node[circle,draw,fill=white] at (0,1) {ou};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{align*}
x+2 & =0\\
x & =-2
\end{align*}
\end{minipage}

L'ensemble solution de l'équation est donc :
\[ \boxed{S=\left\lbrace -2;\dfrac{5}{6} \right\rbrace }\]

\section*{\'Equation 6 : forme développée}

Résoudre l'équation :
\[
(3x-1)(2x-7)=9x^2-6x+1.
\]

\section*{Solution}

Quant il y a une forme développée dans une équation, on la factorise dès le départ. En général, il s'agit d'une identité remarquable du type \og $a^2+2ab+b^2$ \fg{} ou \og $a^2-2ab+b^2$ \fg.\\
Ici, on a : \[ 9x^2-6x+1=(3x-1)^2.\]
\emph{Remarque :} on peut s'aider de la forme factorisée de l'autre c\^oté su signe \og $=$\fg{}: pour que l'équation puisse \^etre résolue, il faut que l'identité remarquable sous la forme factorisée fasse appara\^itre l'un des deux facteurs (ici $(3x-1)$ ou $(2x-7)$).\\
On a alors :
\begin{align*}
(3x-1)(2x-7)& =(3x-1)(3x-1)\\
(3x-1)(2x-7)-(3x-1)(3x-1)&=0\\
(3x-1)(2x-7-3x+1)&=0\\
(3x-1)(-x-6)&=0
\end{align*}

\newpage

On a alors un produit nul donc :

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{align*}
3x-1 & =0\\
3x & =1\\
x = \dfrac{1}{3}
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5mm}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (0,2);
\node[circle,draw,fill=white] at (0,1) {ou};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{align*}
-x-6 & =0\\
-x & =6\\
x & = -6
\end{align*}
\end{minipage}

L'ensemble solution de l'équation est donc :
\[
\boxed{S=\left\lbrace \dfrac{1}{3};-6\right\rbrace}
\]

\section*{\'Equation 7 : équation quotient (1\iere{} partie)}

Résoudre l'équation :
\[ \dfrac{3x+2}{5x-1}=0.\]

\section*{Solution}

\og Un quotient est nul si son numérateur est nul et si son dénominateur ne s'annule pas. \fg{} \\
Donc $\dfrac{3x+2}{5x-1}=0$ si $3x+2=0$ ET si $5x-1\neq0$ (le dénominateur ne doit pas s'annuler car on ne peut pas diviser par 0).

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{align*}
3x+2 & =0\\
3x & =-2\\
x = -\dfrac{2}{3}
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5mm}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (0,2);
\node[circle,draw,fill=white] at (0,1) {ET};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{align*}
5x-1 & \neq 0\\
5x & \neq 1\\
x & \neq \dfrac{1}{5}
\end{align*}
\end{minipage}

La solution trouvée$\left(-\dfrac{2}{3}\right)$ n'étant pas égale à $\dfrac{1}{5}$, l'ensemble solution est donc :
\[ \boxed{S=\left\lbrace -\dfrac{2}{3}\right\rbrace} \]

\section*{\'Equation 8 : équation quotient (2\ieme{} partie)}

Résoudre l'équation :
\[ \dfrac{(3x+2)(8x-4)}{5x-1}=0.\]

\section*{Solution}

\og Un quotient est nul si son numérateur est nul et si son dénominateur ne s'annule pas. \fg{} \\
Donc  :

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\[ (3x+2)(8x-4)=0\]
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{align*}
3x+2 & =0\\
3x & =-2\\
x = -\dfrac{2}{3}
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5mm}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (0,3);
\node[circle,draw,fill=white] at (0,1.5) {ou};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{align*}
8x-4 & = 0\\
8x & = 4\\
x & = \dfrac{4}{8}\\
x & = \dfrac{1}{2}
\end{align*}
\end{minipage}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5mm}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (0,4);
\node[circle,draw,fill=white] at (0,2) {ET};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{align*}
5x-1 & \neq 0\\
5x & \neq 1\\
x & \neq \dfrac{1}{5}
\end{align*}
\end{minipage}

\medskip

Les solutions trouvées n'étant pas égales à $\dfrac{1}{5}$, l'ensemble solution est :
\[ 
\boxed{S=\left\lbrace -\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2} \right\rbrace}
\]

\section*{Entra\^inement}

\begin{enumerate}
\item Montre que l'équation : $(2x-7)^2=(4x+1)^2$ admet pour ensemble solution $S=\left\lbrace 1;4\right\rbrace$.

\item Montre que l'équation : $(-x+5)^2=7$ admet pour ensemble solution $S=\left\lbrace 5-\sqrt{7} ; 5+\sqrt{7} \right\rbrace$.

\item Montre que l'équation : $(3x+7)^2=(3x+7)(8x-3)$ admet pour ensemble solution $S=\left\lbrace -\dfrac{7}{3} ; 2 \right\rbrace$.

\item Montre que l'équation : $(3-2x)(5x+1)=25x^2+10x+1$ admet pour ensemble solution $S=\left\lbrace -\dfrac{7}{3} ; 2 \right\rbrace$.

\item Montre que l'équation : $\dfrac{(x-7)(4x+8)}{x-2}$ admet pour ensemble solution : $S=\left\lbrace -\dfrac{1}{5};\dfrac{2}{7} \right\rbrace$.

\item Montre que l'équation : $\dfrac{(3x-9)(21x+7)}{x-3}$ admet pour ensemble solution : $S=\left\lbrace -\dfrac{1}{3} \right\rbrace$.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Inéquation 1}

Résoudre l'inéquation :
\[ 5x+1 \geqslant 0.\]

\section*{Solution}

Résoudre une inéquation est presque comme résoudre une équation.\\
Dans notre cas, la méthode est la m\^eme :
\begin{align*}
5x+1&\geqslant0\\
5x&\geqslant-1\\
x&\geqslant-\dfrac{1}{5}
\end{align*}
L'ensemble solution est donc l'ensemble des $x$ supérieurs ou égaux à $-\dfrac{1}{5}$ ; donc :
\[
\boxed{S=\intervFO{-\dfrac{1}{5}}{+\infty}}
\]

\section*{Inéquation 2}

Résoudre l'inéquation :
\[ -4x-8 < 0.\]

\section*{Solution}

Dans ce cas, il y a une chose à laquelle il va falloir faire attention :

\begin{align*}
-4x-8 & <0\\
-4x & <8\\
x\ & \textcolor{red}{>} \dfrac{8}{-4} \quad \text{\textcolor{red}{On change le signe car on divise par un nombre négatif}}\\
x\ > -2
\end{align*}

L'ensemble solution de l'inéquation est donc :
\[
\boxed{S=\intervOO{-2}{+\infty}}
\]

[à suivre ...]
\end{document}