\documentclass[12pt]{book}
\usepackage{pas-exos}
\begin{document}
\chapter*{Mettre sous la forme canonique}

\subsection*{\'Enoncé}

Soit $f(x)=5x^2+x-3$.

Mettre $f(x)$ sous la forme canonique, c'est-à-dire sous la forme $f(x)=a(x-u)^2+v$.

\subsection*{Solution}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|Sl>{\em}X|}
\hline
$f(x)=5x^2+x-3$ & On écrit la forme développée de $f(x)$ pour commencer\\
\hline
$f(x)=5\left(x^2+\dfrac{1}{5}x-\dfrac{3}{5}\right)$ & On factorise par le coefficient de $x^2$\\
\hline
$f(x)=5\left[x^2\textbf{\textcolor{blue}{+}}2\times\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{5}}x+\left(\textcolor{red}{\dfrac{1}{10}}\right)^2-\left(\dfrac{1}{10}\right)^2-\dfrac{3}{5} \right]$ & On fait appara\^itre une identité remarquable : on doit écrire $\dfrac{1}{5}$ comme étant égal à $2\times\cdots\times x$ ; ce qui manque est obtenu en multipliant $\dfrac{1}{5}$ par $\dfrac{1}{2}$. Il ne faut pas oublier ensuite d'ajouter le carré du résultat (ici, $\dfrac{1}{10}$) et de le soustraire vu qu'il n'y est pas dans la forme de la ligne précédente\\
\hline
$f(x)=5\left[\left(x\textbf{\textcolor{blue}{+}}\dfrac{1}{10}\right)^2-\dfrac{1}{100}-\dfrac{3}{5}\right]$ & On fait appara\^itre la forme factorisée de l'identité remarquable\\
\hline
$f(x)=5\left[\left(x+\dfrac{1}{10}\right)^2-\dfrac{61}{100}\right]$ & On calcule la constante dans les crochets\\
\hline
$f(x)=5\left(x+\dfrac{1}{10}\right)^2-5\times\dfrac{61}{100}$  & On distribue le coefficient qui est devant les crochets\\
\hline
$f(x)=5\left(x+\dfrac{1}{10}\right)^2-\dfrac{61}{20}$ & On obtient la forme souhaitée\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

De cette dernière forme, on déduit que :

\begin{itemize}
\item $u=-\dfrac{1}{10}$ (attention à ne pas oublier le signe \og $-$ \fg{} car dans l'expression $a(x-u)^2+v$, il y a un \og $-$ \fg{} et dans la n\^otre, il n'y en a pas. Donc $u$ est nécessairement négatif. ).
\item $v=-\dfrac{61}{20}$.
\end{itemize}

\medskip

La parabole qui représente $f$ a donc pour sommet le point $\Omega\coord{-\dfrac{1}{10}}{-\dfrac{61}{20}}$. C'est un minimum car le coefficient de $x^2$ (dans la forme développée) est positif.
\end{document}