\documentclass[10pt,a4paper]{article}
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\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\paragraph*{Exercice 1 (3 points)}\hfill{\color{gray}\bfseries\itshape Temps indicatif : 5 minutes}

Par lecture graphique, donner l'équation réduite de chacune des droites représentées ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[gray,dashed] (-5,-2) grid (5,5);
\draw[thick,->,>=latex] (-5,0) -- (5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-2) -- (0,5);
\node[below left] at  (0,0) {0};
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} { \draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below,fill=white,inner sep=2pt] {$\x$};}
\foreach \y in {-1,1,2,3,4} { \draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[below left] {$\y$};}
\clip (-5,-2) rectangle (5,5);
\draw[thick] plot[domain=-5:5] (\x,{0.5*\x-1}) node[above left] {$d_1$};
\draw[thick] plot[domain=-5:5] (\x,{-\x/3+1}); \node[below right] at (-5,2.5){$d_2$};
\draw[thick] (-5,4) -- (5,4) node[above left] {$d_3$};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\paragraph*{Exercice 2 (7 points)}\hfill{\color{gray}\bfseries\itshape Temps indicatif : 20 minutes}

 Dans un repère orthonormé, on considère les points $A$\coord{-3}{5}, $B$\coord{2}{-4}, $C$\coord{5}{6} et $D$\coord{1}{-1}.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation réduite des droites $(AB)$ et $(CD)$.
\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection $I$ des droites $(AB)$ et $(CD)$. 
\item Déterminer les coordonnées du point $E$ sachant que $(BE)$ est parallèle à l'axe des ordonnées et que $E$ appartient à $(CD)$.
\item Le point $F\coord{7}{-11}$ appartient-il à la droite $(AB)$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 3 (6 points)}\hfill{\color{gray}\bfseries\itshape Temps indicatif : 15 minutes}

\begin{enumerate}
\item Résoudre par substitution le système : \systeme{x-3y=-18,2x+5y=19}.
\item Résoudre par addition le système : \systeme{3x+7y=-37,4x-5y=51}.
\item Résoudre par la méthode de votre choix le système : \systeme{\frac{1}{3}x-\frac{2}{5}y=1,-5x+6y=2}.
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 4 (4 points)}\hfill{\color{gray}\bfseries\itshape Temps indicatif : 10 minutes}

Amira va faire les boutiques. Elle achète dans un même
magasin deux tee-shirts et une jupe pour 119,70 \euro. La
semaine suivante, elle reçoit un texto du magasin pour
des ventes privées : réduction de \pourcent{50} pour les tee-
shirts et de \pourcent{30} sur les jupes. Elle décide de faire des cadeaux à sa mère et ses s\oe urs et achète 6 tee-shirts et
2 jupes. Elle paye 173,56 \euro.


Quelle somme ces ventes privées lui ont-elles fait économiser ?

\newpage

\begin{center}
\Large\bfseries Correction
\end{center}

\paragraph*{Exercice 1} On va mettre des points sur les droites :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[gray,dashed] (-5,-2) grid (5,5);
\draw[thick,->,>=latex] (-5,0) -- (5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-2) -- (0,5);
\node[below left] at  (0,0) {0};
\foreach\x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} { \draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below,fill=white,inner sep=2pt] {$\x$};}
\foreach \y in {-1,1,2,3,4} { \draw[thick] (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[below left] {$\y$};}
\clip (-5,-2) rectangle (5,5);
\draw[thick] plot[domain=-5:5] (\x,{0.5*\x-1}) node[above left] {$d_1$};
\draw[thick] plot[domain=-5:5] (\x,{-\x/3+1}); \node[below right] at (-5,2.5){$d_2$};
\draw[thick] (-5,4) -- (5,4) node[above left] {$d_3$};
\fill[red] (0,-1) circle (2pt);
\fill[red] (4,1) circle (2pt);
\draw[thick,red,->,>=latex] (0,-1) -- (4,-1) node[below,midway,fill=white,inner sep=2pt] {$+4$};
\draw[thick,red,->,>=latex](4,-1) -- (4,1) node[right,midway,fill=white,inner sep=2pt] {$+2$};
%
\fill[blue] (-3,2) circle (2pt);
\fill[blue] (0,1) circle (2pt);
\draw[very thick,blue,->,>=latex] (-3,2) -- (0,2) node[below,midway,fill=white,inner sep=2pt] {$+3$};
\draw[very thick,blue,->,>=latex] (0,2) -- (0,1) node[right,midway,fill=white,inner sep=2pt] {$-1$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{itemize}
\item Pour $(d_1)$, le coefficient directeur est $a=\dfrac{+2}{+4}=\dfrac{1}{2}$ et l'ordonnée à l'origine est $b=-1$ donc son équation réduite est : $\boxed{y=\dfrac{1}{2}x-1}$.

\item Pour $(d_2)$, le coefficient directeur est $a=\dfrac{-1}{+3}=-\dfrac{1}{3}$ et l'ordonnée à l'origine est $b=1$ donc son équation réduite est : $\boxed{y=-\dfrac{1}{3}x+1}$.

\item Pour $(d_3)$, le coefficient directeur est $a=0$ car il n'y a pas de variations en $y$, et l'ordonnée à l'origine est $b=4$ donc son équation réduite est : $\boxed{y=4}$.
\end{itemize}

\paragraph*{Exercice 2}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item Déterminons l'équation réduite de $(AB)$.

Son coefficient directeur est : $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-4-5}{2-(-3)}=\dfrac{-9}{5}$.

Donc $(AB)$ : $y=-\dfrac{9}{5}x+p$.

De plus, $A$ appartient à $(AB)$ donc :
\begin{align*}
& y_A=-\dfrac{9}{5}x_A+p\\
\iff\ & 5=-\dfrac{9}{5}\times(-3)+p\\
\iff\ & 5=\dfrac{27}{5}+p\\
\iff\ & 5-\dfrac{27}{5}=p\\
\iff\ & \dfrac{25}{5}-\dfrac{27}{5}=p\\
\iff\ & -\dfrac{2}{5}=p.
\end{align*}

L'équation réduite de $(AB)$ est donc : $\boxed{y=-\dfrac{9}{5}x-\dfrac{2}{5}}$.


\item Déterminons l'équation réduite de $(CD)$.

Son coefficient directeur est : $m=\dfrac{y_D-y_C}{x_D-x_C}=\dfrac{-1-6}{1-5}=\dfrac{7}{4}$.

Donc $(CD)$ : $y=\dfrac{7}{4}x+p$.

De plus, $D$ appartient à $(CD)$ donc :
\begin{align*}
& y_D=\dfrac{7}{4}x_D+p\\
\iff\ & -1=\dfrac{7}{4}\times1+p\\
\iff\ & -1-\dfrac{7}{4}=p\\
\iff\ & -\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{4}=p\\
\iff\ & -\dfrac{11}{4}=p.
\end{align*}

L'équation réduite de $(CD)$ est donc : $\boxed{y=\dfrac{7}{4}x-\dfrac{11}{4}}$.
\end{itemize}

\item $y_I=-\dfrac{9}{5}x_I-\dfrac{2}{5}$ car $I\in(AB)$, et $y_I=\dfrac{7}{4}x_I-\dfrac{11}{4}$ car $I\in(CD)$ donc :
\begin{align*}
-\dfrac{9}{5}x_I-\dfrac{2}{5}=\dfrac{7}{4}x_I-\dfrac{11}{4} & \iff -\dfrac{9}{5}x_I-\dfrac{7}{4}x_I=-\dfrac{11}{4}+\dfrac{2}{5}\\
& \iff -\dfrac{36}{20}x_I-\dfrac{35}{20}x_I = -\dfrac{55}{20}+\dfrac{8}{20}\\
& \iff -71x_I=-47\\
& \iff x_I=\dfrac{47}{71}.
\end{align*}
Ainsi,
\begin{align*}
y_I&=\dfrac{7}{4}\times\dfrac{47}{71}-\dfrac{11}{4}\\
& =\dfrac{7\times47}{4\times71}-\dfrac{11\times71}{4\times71}\\
& = -\dfrac{452}{284}\\
y_I& = -\dfrac{113}{71}.
\end{align*}

\underline{Le point d'intersection de $(AB)$ et $(CD)$ est donc $I\coord{\dfrac{47}{71}}{-\dfrac{113}{71}}$.}

\item $(BE)$ est parallèle à l'axe des ordonnées donc $x_E=x_B=2$.

$E\in(CD)$ donc $y_E=\dfrac{7}{4}x_E-\dfrac{11}{4}=\dfrac{7}{4}\times2-\dfrac{11}{4}=\dfrac{14-11}{4}=\dfrac{3}{4}$.

\medskip

\underline{Donc $E\coord{2}{\dfrac{3}{4}}$.}

\item $-\dfrac{9}{5}x_F-\dfrac{2}{5}=-\dfrac{9}{5}\times7-\dfrac{2}{5}=\dfrac{-63-2}{5}=\dfrac{-65}{5}=-13\neq y_F$ donc $F\notin(AB)$.
\end{enumerate}

\newpage

\paragraph*{Exercice 3}
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\begin{cases}x-3y=-18\\2x+5y=19\end{cases} & \iff\begin{cases}x=3y-18\\2(3y-18)+5y=19\end{cases}\\
& \iff\begin{cases}x=3y-18\\6y-36+5y=19\end{cases}\\
& \iff\begin{cases}x=3y-18\\11y=55\end{cases}\\
& \iff\begin{cases}x=3y-18\\y=5\end{cases}\\
& \iff\begin{cases}x=3\times5-18=-3\\y=5
\end{cases}
\end{aligned}$

\bigskip

\underline{Donc $\mathcal{S}=\{\coord{-3}{5}\}$.}

\item  $\systeme{3x+7y=-37@\times4,4x-5y=51@\times3}\iff\systeme{12x+28y=-148,12x-15y=153}$.

On soustrait les deux équations : 
\[
28y-(-15y)=148-153 \iff 43y=-301\iff y=-\dfrac{301}{43}=7.
\]

$\systeme{3x+7y=-37@\times5,4x-5y=51@\times7}\iff\systeme{15x+35y=-185,28x-35y=357}$.

On ajoute les deux équations :
\[
15x+28x=-185+357 \iff 43x=172 \iff x = \dfrac{172}{43}=4.
\]

\underline{Donc $\mathcal{S}=\{\coord{4}{7}\}$.}

\item $\systeme{\frac{1}{3}x-\frac{2}{5}y=1@\times15,-5x+6y=2}\iff\systeme{5x-6y=15,-5x+6y=2}$.

En ajoutant les deux équations, on obtient : $0=17$. Cette égalité est impossible donc \underline{$\mathcal{S}=\varnothing$}.

\paragraph*{Exercice 4} Notons $x$ le prix d'un tee-shirt et $y$ celui d'une jupe.

La 1\iere{} phrase nous dit que : $2x+1y=119,70$.

\medskip

La seconde phrase nous dit que : $0,5\times6x+0,7\times2y=173,56$, soit $3x+1,4y=173,56$.

\begin{align*}
\begin{cases}
2x+y=119,70 & \times 1,4\\
3x+1,4y=173,56
\end{cases} & \iff
\begin{cases}
2,8x+1,4y=167,58\\
3x+1,4y=173,56
\end{cases}
\end{align*}
On soustrait les deux équations :
\[ 3x-2,8x=173,56-167,58 \iff 0,2x=5,98 \iff x = \dfrac{5,98}{0,2}=29,90.\]

\begin{align*}
\begin{cases}
2x+y=119,70 & \times 3\\
3x+1,4y=173,56 & \times 2
\end{cases} & \iff
\begin{cases}
6x+3y=359,10\\
6x+2,8y=347,12
\end{cases}
\end{align*}
On soustrait les deux équations :
\[ 
3y-2,8y=359,10-347,12 \iff y=59,9. \]
Les économies réalisées sont donc égales à :
\[
\underbrace{0,5\times6\times29,90}_{\pourcent{50}\text{ du prix des 6 tee-shirts}}+\underbrace{0,3\times2\times59,90}_{\pourcent{30}\text{ du prix des 2 jupes}}=\underline{125,64\text{ \euro}}.
\]
\end{enumerate}
\end{document}