\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{tikz}
\usepackage{array}
\usepackage{pas-math}
\usepackage{numprint}
\usepackage{nopageno}
\usepackage[margin=1.5cm]{geometry}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\paragraph*{Exercice 1} Compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*6{>{\centering\arraybackslash}m{1cm}|}}
\hline
Angles (en degrés) & 0 & 30 & 45 & 60 & 90 & 180\\
\hline
Angles (en radians) & \rule{0pt}{2em} &   &    &   &  &  \\
\hline
Cosinus &\rule{0pt}{2em} &&&&&\\
\hline
Sinus & &\rule{0pt}{2em}&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\paragraph*{Exercice 2}
\begin{enumerate}
\item Convertir $\dfrac{2\pi}{5}$ radians en degrés.
\item Convertir $72^\circ$ en radians.
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 3} Placer sur le cercle trigonométrique ci-dessous les angles suivants (exprimés en radians) :
\[
\frac{\pi}{3}\quad;\quad\frac{\pi}{4}\quad;\quad\frac{\pi}{6}\quad;\quad-\frac{2\pi}{3}\quad;\quad\frac{5\pi}{6}\quad;\quad-\frac{3\pi}{4}\quad;\quad-\frac{13\pi}{3}.
\]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=4]
\draw[dotted] (-1,-1) grid[step=0.1] (1,1);
\draw[very thick] (0,0) circle (1cm);
\draw[very thick,->,>=latex] (-1.1,0) -- (1.1,0);
\draw[very thick,->,>=latex] (0,-1.1) -- (0,1.1);
\node[below left] at (0,0) {0};
\node[below right] at (1,0) {1};
\node[above right] at (0,1) {1};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\paragraph*{Exercice 4}
\begin{enumerate}
\item  Un logiciel de calcul donne : $\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)=\dfrac{1+\sqrt5}{4}$.

En déduire la valeur exacte de $\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)$.

\item Soit $x$ un réel de l'intervalle \intervFF{\dfrac{\pi}{2}}{\pi} tel que $\sin(x)=\dfrac{4}{5}$.

Calculer $\cos(x)$.

\item On donne $\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}$.

Calculer $\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$.
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 5}
\begin{enumerate}
\item Après quelques calculs, Pierre affirme que le sinus d'un angle a une valeur exacte égale à $\dfrac{\sqrt2+\sqrt3}{2}$.

Pourquoi cette valeur est obligatoirement fausse ?

\item L'erreur étant rectifiée, le sinus de cet angle a pour valeur exacte $\dfrac{\sqrt2+\sqrt3}{4}$.

Donner une valeur approchée à l'unité de la mesure en degrés de cet angle.
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 6}
\begin{enumerate}
\item Calculer $\cos\left(\dfrac{215\pi}{6}\right)$.
\item Calculer $\sin\left(\dfrac{316\pi}{6}\right)$.
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 7}
\begin{enumerate}
\item Calculer $\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^2+\left(\cos\dfrac{\pi}{6}-\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^2$.

\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par :
\[
f(x)=\big(\cos x + \sin x\big)^2 + \big(\cos x - \sin x\big)^2.
\]
Montrer que $f$ est une fonction affine.
\end{enumerate}

\paragraph*{Exercice 8} Résoudre dans l'intervalle \intervOF{-\pi}{\pi} l'équation :
\[ 4\cos^2x-3=0. \]

\paragraph*{Exercice 9} On considère un angle $\alpha$ tel que $\sin(\alpha)=\dfrac{3}{5}$.

Placer sur le cercle trigonométrique de l'exercice 3 le point correspondant à $\alpha$, puis donner la valeur de $\cos(\alpha)$.

\paragraph*{Exercice 10} Un angle $\beta$ est tel que $\cos(\beta)=\dfrac{1+\sqrt2}{3}$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que cette valeur est possible.
\item Donner une valeur approchée (avec le plus de chiffres après la virgule) de $\beta$ en degrés.
\item On souhaite exprimer $\beta$ sous la forme $\dfrac{k\pi}{n}$ radians, où $k$ et $n$ sont deux entiers relatifs.

Proposer une valeur pour $k$ et $n$ en expliquant la méthode utilisée.

\bigskip

On pourra ensuite vérifier que $\dfrac{\numprint{115912716777}\pi}{\numprint{10000000000}}$ est une bonne approximation de $\beta$.
\end{enumerate}
\end{document}