\exercice[style=R,N=5]{Une autre écriture pour une racine carrée}

On pose :
\[
A=\sqrt{33+20\sqrt{2}}.
\]

On cherche à écrire $A$ sous la forme $a+b\sqrt{2}$, où $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs.

\begin{enumerate}
\item Développer $\left(a+b\sqrt{2}\right)^2$.
\item Montrer alors que :
\[
\begin{cases}
a^2+2b^2=33\\
ab=10
\end{cases}
\]
\item Calculer alors $a$ et $b$.

\item S'inspirer de ce qui vient d'être fait pour trouver une formule permettant de calculer $a$ et $b$ tels que :
\[
\sqrt{p+q\sqrt{n}}=a+b\sqrt{n}\qquad;\qquad p\in\Z,\ q\in\Z,\ n\in\N*.
\]
\end{enumerate}