\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
P(-2) & = 2\times(-2)^3+7\times(-2)^2+7\times(-2)+2\\
& = -16+28-14+2\\
& = -30+30\\
& = 0.
\end{aligned}$

\underline{$P(-2)=0$ donc $x=-2$ est une racine de $P$.}

\item $\begin{aligned}[t]
P(x) & =(x+2)(ax^2+bx+c)\\
& = ax^3+bx^2+cx+2ax^2+2bx+2c\\
& = ax^3+(b+2a)x^2+(c+2b)x+2c
\end{aligned}$

Ainsi, on souhaite que, pour tout réel $x$ :
\[ 2x^3+7x^2+7x+2=ax^3+(b+2a)x^2+(c+2b)x+2c.\]
Par identification des coefficients, on a :
\[
\begin{cases}
2 = a\\
7 = b+2a\\
7 = c+2b\\
2 = 2c
\end{cases}
\]
On en déduit que $a=2$ et $c=1$. Par suite, à l'aide de la troisième équation (par exemple), on trouve $b=3$.

Finalement, on obtient :

\[
\boxed{P(x)=(x+2)(2x^2+3x+1)}
\]

\item $P(x)=0\Longleftrightarrow x+2=0\qquad\text{ou}\qquad 2x^2+3x+1=0$.

Le discriminant de $2x^2+3x+1=0$ est $\Delta=9-8=1$ donc il admet deux racines : $\alpha=\dfrac{-3-1}{4}=-1$ et $\beta=\dfrac{-3+1}{4}=-\dfrac{1}{2}$.

Par conséquent, l'ensemble solution de l'équation $P(x)=0$ est :
\[
\boxed{S=\left\{-2~;-1~;-\dfrac{1}{2}\right\}}
\]
\end{enumerate}