\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
& \Delta=20+8\sqrt{6}\\
\iff & \big(a+b\sqrt{6}\big)^2=20+8\sqrt{6}\\
\iff & a^2+2ab\sqrt{6}+6b^2=20+8\sqrt{6}\\
\iff & a^2+6b^2+2ab\sqrt{6}=20+8\sqrt{6}\\
\iff & \begin{cases}
a^2+6b^2 & =20\\
2ab & = 8
\end{cases}\\
\iff & \boxed{\begin{cases}
a^2+6b^2 & =20\\
ab & = 4
\end{cases}}
\end{aligned}$

\item $ab=4$ donc $b=\dfrac{4}{a}$. La première équation donne alors :
\begin{align*}
a^2+6b^2 =20 & \iff a^2+\left(\dfrac{4}{a}\right)^2=20\\
& \iff a^2+6\times\dfrac{16}{a^2}=20\\
& \iff a^4+96=20a^2\\
& \iff \boxed{a^4-20a^2+96=0}
\end{align*}

\item On pose $A=a^2$ ; l'équation $a^4-20a^2+96=0$ est équivalente à :
\[ A^2-20A+96=0 \]
dont le discriminant est :
\[
\Delta' = (-20)^2-4\times1\times96=16=4^2.
\]
L'équation $A^2-20A+96=0$ admet donc deux solutions :
\[
A_1=\dfrac{20-4}{2}=8=a_1^2\qquad\text{et}\qquad A_2=\dfrac{20+4}{2}=12=a_2^2.
\]
Ainsi, $a_1=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ ou $a_1=-\sqrt{8}=-2\sqrt{2}$, et $a_2=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ ou $a_2=-2\sqrt{3}$.

Faisons le choix de prendre $a=2\sqrt{2}$ ; alors $b=\dfrac{4}{2\sqrt{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.

Dans ce cas, $a+b\sqrt{6}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}\times\sqrt{6}=2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)$.

Or, $\big[2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)\big]^2=4\big(2+3+2\sqrt{6}\big)=20+8\sqrt{6}=\Delta$.

\medskip

Ainsi, $\boxed{\sqrt{\Delta}=2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)}$.
\end{enumerate}

\item $4\big(\sin x\big)^2+2\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)\sin x-\sqrt{6}=0$. On pose $X=\sin x$. (E) est donc équivalente à :
\[
4X^2+2\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)X-\sqrt{6}=0.
\]
Le discriminant de $4X^2+2\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)X-\sqrt{6}$ est :
\[
\big[2\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)\big]^2-4\times4\times\big(-\sqrt{6}\big)=4\big(3+2-2\sqrt{6}\big)+16\sqrt{6}=20+8\sqrt{16}=\Delta.
\]
Ainsi, l'équation en $X$ admet deux solutions distinctes :
\[
X_1=\dfrac{-2\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)-\sqrt{\Delta}}{2\times4}=\dfrac{2\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)}{8}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\]
et
\[
X_2=\dfrac{-2\big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big)+\sqrt{\Delta}}{2\times4}=\dfrac{2\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\big(\sqrt{2}+\sqrt{3}\big)}{8}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
\]
Ainsi,
\[ 
\sin x_1=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\qquad\text{et}\qquad \sin x_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\]
soit, sur \intervOF{-\pi}{\pi} :
\[ 
x_1=-\dfrac{\pi}{3}\text{ ou }x_1=-\dfrac{2\pi}{3} \qquad\text{et}\qquad 
x_2=\dfrac{\pi}{4}\text{ ou }x_2=\dfrac{3\pi}{4}.
\]
Par conséquent, sur \intervOF{-\pi}{\pi}, les solutions de (E) sont : $-\dfrac{\pi}{3}$, $-\dfrac{2\pi}{3}$, $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{3\pi}{4}$.
\end{enumerate}