\begin{enumerate}
\item $f(x)=3x^2-5x+2$.

$f(x)$ est un trinôme du second degré donc défini pour tout réel $x$. Ainsi,
\[ \boxed{\mathscr{D}=\R} \]

\item $f(x)=\dfrac{x-2}{\sqrt{x}}$.

$f(x)$ est un quotient dont le numérateur est défini pour tout réel $x$ (car c'est une fonction affine). Son dénominateur ne doit pas être égal à 0. Donc $\sqrt{x}\neq0$, soit $x\neq0$ (1). 

Le dénominateur est une racine carrée donc son radicande ($x$) doit être supérieur ou égal à 0, donc $x\geqslant0$ (2).

\medskip

Les conditions (1) et (2) nous donne :
\[ \boxed{\mathscr{D}=\intervOO{0}{+\infty}} \]

\item $f(x)=\sqrt{3x-1}$.

$f(x)$ est une racine carrée donc son radicande ($3x-1$) doit être supérieur ou égal à 0.
\[
3x-1\geqslant0 \Longleftrightarrow x\geqslant\dfrac{1}{3}.
\]
Par conséquent,
\[
\boxed{\mathscr{D}=\intervFO{\frac{1}{3}}{+\infty}}
\]

\item $f(x)=\dfrac{3}{9x-7}$.

$f(x)$ est un quotient dont le numérateur est toujours défini et dont le dénominateur doit être non nul (différent de 0). D'où :
\[
9x-7\neq0 \Longleftrightarrow x\neq\dfrac{7}{9}.
\]
On en déduit alors :
\[
\boxed{\mathscr{D}=\R\setminus\left\{\dfrac{7}{9} \right\}}
\]

\item $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}$.

Les deux conditions à remplir ici sont :
\[
\begin{cases}
x-1\geqslant0\\
x+1>0\text{ (dénominateur non nul)}
\end{cases}
\Longleftrightarrow
\begin{cases}
x\geqslant1\\
x>-1
\end{cases}
\Longleftrightarrow
x\geqslant1.
\]
D'où :
\[
\boxed{\mathscr{D}=\intervFO{1}{+\infty}}
\]

\item $f(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}$.

Les conditions à remplir ici sont :
\[
\begin{cases}
\dfrac{x-1}{x+1}\geqslant0\\
x+1\neq0
\end{cases}
\]
Pour résoudre l'inéquation $\dfrac{x-1}{x+1}\geqslant0$, nous devons nous aider du tableau de signes suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=violet!20,colorC=violet!20,colorV=violet!20]{$x$/0.5,$x-1$/0.5,$x+1$/0.5,$\dfrac{x-1}{x+1}$/1.2}{$-\infty$,$-1$,1,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,,+}
\tkzTabLine{,+,d,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Ainsi,
\[
\boxed{\mathscr{D}=\intervOO{-\infty}{-1}\cup\intervFO{1}{+\infty}}
\]

\item $f(x)=\sqrt{x^2-3x+2}$.

$f(x)$ existe lorsque $x^2-3x+2\geqslant0$.

Le discriminant de $x^2-3x+2$ est $\Delta=9-8=1$ donc ce trinôme a pour racines $\alpha=\dfrac{3-1}{2}=1$ et $\beta=\dfrac{3+1}{2}=2$.

On sait qu'un trinôme est du signe du coefficient de $x^2$ à l'extérieur de ses racines d'où :
\[
\boxed{\mathscr{D}=\intervOF{-\infty}{1}\cup\intervFO{2}{+\infty}}
\]

\item $f(x)=\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^2-2x+1}$.

$f(x)$ existe quand $x^2-1\geqslant0$ et $x^2-2x+1\geqslant0$.

$x^2-1\geqslant0$ lorsque $x\in\intervOF{-\infty}{-1}\cup\intervFO{1}{+\infty}$ car les racines (évidentes) de $x^2-1$ sont $1$ et $-1$.

De plus, $x^2-2x+1=(x+1)^2\geqslant0$ pour tout réel $x$. On en déduit alors que :
\[
\boxed{\mathscr{D}=\intervOF{-\infty}{-1}\cup\intervFO{1}{+\infty}}
\]

\item $f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-4x+3}}{x^2-5x+4}$.

Les conditions à remplir ici sont :
\[
\begin{cases}
x^2-4x+3\geqslant0\\
x^2-5x+4\neq0
\end{cases}
\]

\begin{itemize}
\item Le discriminant de $x^2-4x+3$ est $\Delta=16-12=4$ donc $x^2-4x+3$ admet deux racines : $\alpha=\dfrac{4-\sqrt{4}}{2}=1$ et $\beta=\dfrac{4+2}{2}=3$.

Ainsi, $x^2-4x+3\geqslant0$ pour $x\in\intervOF{-\infty}{1}\cup\intervFO{3}{+\infty}$.

\item Le discriminant de $x^2-5x+4$ est $\Delta^\prime=25-16=9$ donc $x^2-5x+4$ admet deux raines : $\alpha^\prime=\dfrac{5-3}{2}=1$ et $\beta^\prime=\dfrac{5+3}{2}=4$.
\end{itemize}

On en déduit alors :
\[
\boxed{\mathscr{D}=\intervOO{-\infty}{1}\cup\intervFO{3}{4}\cup\intervOO{4}{+\infty}}
\]
\end{enumerate}