\begin{enumerate}
\item $f_1(x)=x^2-1$.

\begin{itemize}
\item Le domaine de définition de $f_1$ est $\R$, donc centré en 0.
\item De plus, $f_1(-x)=(-x)^2-1=x^2-1=f_1(x)$.
\end{itemize}

\underline{Par conséquent, $f_1$ est paire.}

\item $f_2(x)=x^2-3x+1$.

\begin{itemize}
\item Le domaine de définition de $f_2$ est $\R$, donc centré en 0.
\item De plus, $f_2(-x)=(-x)^2-3(-x)+1=x^2+3x+1$.

Donc $f_2(-x)\neq f_2(x)$ et $f_2(-x)\neq-f_2(x)$.
\end{itemize}

\underline{Par conséquent, $f_2$ n'est ni paire ni impaire.}

\item $f_3(x)=2x\sqrt{x^2+1}$.

\begin{itemize}
\item Le domaine de définition de $f_3$ est $\R$, donc centré en 0 (car $x^2+1\geqslant0$ pour tout réel $x$).
\item De plus, $f_3(-x)=2(-x)\sqrt{(-x)^2+1}=-2x\sqrt{x^2+1}=-f_3(x)$.
\end{itemize}

\underline{Par conséquent, $f_3$ est impaire.}

\item $f_4(x)=\dfrac{x}{x^2+3}$.

\begin{itemize}
\item Le domaine de définition de $f_4$ est $\R$, donc centré en 0 (car $x^2+3\neq0$ pour tout réel $x$).
\item De plus, $f_4(-x)=\dfrac{-x}{(-x)^2+3}=-\dfrac{x}{x^2+3}=-f_4(x)$.
\end{itemize}

\underline{Par conséquent, $f_4$ est impaire.}

\item $f_5(x)=\dfrac{x}{x-3}$.

Le domaine de définition de $f_5$ est $\mathscr{D}=\R\setminus\{3\}$ (car $x-3\neq0 \Leftrightarrow x\neq3$).

\underline{$\mathscr{D}$ n'est pas centré en 0 donc $f_5$ ne peut pas être paire ou impaire.}

\end{enumerate}