\begin{enumerate}
\item Nous avons :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=violet!20,colorC=violet!20,colorV=violet!20]{$x$/0.5,$f(x)$/1}{$-5$,1,5}
\tkzTabVar{+/,-D+/ /,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=violet!20,colorC=violet!20,colorV=violet!20]{$x$/0.75,$g(x)$/1}{$-5$,$-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,5}
\tkzTabVar{-/,+/,-/,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item $f(x)\geqslant0 \Longleftrightarrow x\in\intervFF{-5}{-1}\cup\intervOF{1}{5}$.
\item La droite d'équation $y=-2$ coupe la courbe représentative de $g$ en 3 points d'abscisses respectives : $x_1\approx-0,9$, $x_2=0$ et $x_3=0,9$.

L'inéquation $g(x)\leqslant-2$ a alors pour ensemble solution : $S=\intervFF{-5}{-0,9}\cup\intervFF{0}{0,9}$.

\paragraph*{N.B.} L'échelle du graphique ainsi que ses graduations ne nous permettent pas de donner avec précision les abscisses $x_1$ et $x_3$, donc si l'élève donne d'autres valeurs que celles données ici, le résultat sera correct (dans la mesure où les valeurs sont proches de $-0,9$ et $0,9$).

\item Les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection des courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.

On peut alors dire que l'ensemble solution est approximativement : $S=\{0,4~;~2,5 \}$.
\end{enumerate}

\item $\begin{aligned}[t]
g(x)\leqslant-2 & \Longleftrightarrow\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{4}x-2\leqslant-2\\
& \Longleftrightarrow \dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{4}x\leqslant0\\
& \Longleftrightarrow x\left(\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{1}{4}\right)\leqslant0
\end{aligned}$

Les racines de $\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{1}{4}$ sont $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, d'où le tableau de signes suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2,color,colorL=violet!20,colorC=violet!20,colorV=violet!20]{$x$/0.8,$x$/0.5,$\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}$/0.8,$x\left(\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}\right)$/0.8}{$-5$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$,0,$\frac{\sqrt{3}}{2}$,5}
\tkzTabLine{,-,,-,z,+,,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,,-,z,+}
\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+}
\end{tikzpicture}
\end{center}

L'ensemble solution de l'inéquation est donc  : $S=\intervFF{-5}{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\cup\intervFF{0}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$, ce qui correspond bien aux résultats trouvés à la question \ref{02-genfonc-04q2}~\ref{02-genfonc-04-q2b} car $\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0,86$.
\end{enumerate}