\begin{enumerate}
\item $f_1\;:\;x\mapsto\sqrt{2-5x}$ sur \intervFO{\dfrac{2}{5}}{+\infty}.

$f_1\;:\;x\overset{u}{\longmapsto}2-5x\overset{\sqrt{u}}{\longmapsto}\sqrt{2-5x}$.

La fonction $u\;:\;x\mapsto2-5x$ est une fonction affine de coefficient directeur négatif donc elle est décroissante ; en prenant la racine carrée de $u$, on ne change pas les variations donc $\sqrt{u}$ est décroissante.

\medskip

\underline{$f_1$ est donc décroissante sur \intervFO{\dfrac{2}{5}}{+\infty}}

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\item $f_2\;:\;x\mapsto-2x+3+\dfrac{5}{x-1}$ sur \intervOO{-\infty}{1} et sur \intervOO{1}{+\infty}.

Posons : $f_2\;:\; x\mapsto g+h$ où :

$g\;:\;x\overset{u}{\longmapsto}x-1\overset{v=\sqrt{u}}{\longmapsto}\sqrt{x-1}\overset{w=\frac{1}{v}}{\longmapsto}\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\overset{5w}{\longmapsto}\dfrac{5}{\sqrt{x-1}}$ et $h\;:\;x\mapsto-2x+3$.

Pour $g$, $u$ est une fonction affine croissante, donc $v=\sqrt{u}$ est aussi croissante et donc $w=\dfrac{1}{v}$ est décroissante, ce qui fait que $5w$ est aussi décroissante.

De plus, $h$ est une fonction affine décroissante.

\medskip

\uline{Ainsi, $f_2$ est décroissante comme somme de fonctions décroissantes sur \intervOO{-\infty}{1} et sur \intervOO{1}{+\infty}.}

\newpage

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\item $f_3\;:\;x\mapsto-\dfrac{2}{1-3\sqrt{x+1}}$ sur \intervOO{-1}{+\infty}.

\begin{multline*}
f_3\;:\;x\overset{u}{\longmapsto} x+1 \overset{v=\sqrt{u}}{\longmapsto}\sqrt{x+1}\overset{w=-3v}{\longmapsto}-3\sqrt{x+1}\overset{z=1+w}{\longmapsto}1-3\sqrt{x+1}\\
\overset{\frac{1}{z}}{\longmapsto}\dfrac{1}{1-3\sqrt{x+1}}\overset{-2\times\frac{1}{z}}{\longmapsto}\dfrac{-2}{1-3\sqrt{x+1}}
\end{multline*}

$u$ est une fonction affine croissante, donc $v=\sqrt{u}$ est croissante, donc $w=-3v$ est décroissante, d'où $z=1+w$ aussi et $\dfrac{1}{z}$ est croissante. Ainsi, $-2\times\dfrac{1}{z}$ est décroissante.

\medskip

\uline{Ainsi, $f_3$ est décroissante sur \intervOO{-1}{+\infty}.}

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\item $f_4\;:\;x\mapsto(-2x+8)^2$ sur \intervFO{4}{+\infty}.

$f_4\;:\;x\overset{u}{\longmapsto}-2x+8\overset{v=u^2}{\longmapsto}(-2x+8)^2$.

$u$ est une fonction affine décroissante et positive sur \intervOF{-\infty}{4} 

(car $-2x+8\geqslant0 \Leftrightarrow -2x\geqslant-8\Leftrightarrow x\leqslant4$).

La fonction carré étant croissante lorsque sa variable est positive, $v=u^2$ est croissante lorsque $u\geqslant0$, c'est-à-dire sur \intervOF{-\infty}{4}.

\medskip

\uline{$f_4$ est donc croissante sur \intervOF{-\infty}{4}.}

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\item $f_5\;:\;x\mapsto \dfrac{-2}{(x+3)^2}$ sur \intervOO{-3}{+\infty}.

$f_5\;:\;x\overset{u}{\longmapsto}x+3\overset{v=u^2}{\longmapsto}(x+3)^2\overset{w=\frac{1}{v}}{\longmapsto}\dfrac{1}{(x+3)^2}\overset{-2w}{\longmapsto}\dfrac{-2}{(x+3)^2}$

$u$ est croissante et $u\geqslant0$ sur \intervOO{-3}{+\infty}, donc $v=u^2$ est croissante, donc $w=\dfrac{1}{v}$ est décroissante, donc $-2w$ est croissante.

\medskip

\uline{$f_5$ est donc croissante sur \intervOO{-3}{+\infty}.}
\end{enumerate}