\begin{enumerate}
\item $f(x)=|x^2-3x+2|$. Le polyn\^ome $x^2-3x+2$ admet une racine évidente : $\alpha=1$. Donc la seconde racine est $\beta=\dfrac{c}{a\alpha}=2$.

On a alors le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,color,colorL=violet!20,colorC=violet!20,colorV=violet!20]{$x$/0.5,$x^2-3x+2$/0.5,$f(x)$/0.5}{$-\infty$,1,2,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\tkzTabLine{,x^2-3x+2,0,-x^2+3x-2,z,x^2-3x+2}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On déduit de la question précédente le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=violet!20,colorC=violet!20,colorV=violet!20]{$x$/1,$f(x)$/1}{$-\infty$,1,$\frac{3}{2}$,2,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/0,+/,-/0,+/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item L'inéquation $f(x)\leqslant x+3$ équivaut à :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,every node/.style={scale=0.9}]
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=4.5,color,colorL=violet!20,colorC=violet!20,colorV=violet!20]{$x$/0.5,$x^2-3x+2$/0.5,/0.5}{$-\infty$,1,2,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\tkzTabLine{,x^2-3x+2\leqslant x+3,0,-x^2+3x-2\leqslant x+3,z,x^2-3x+2\leqslant x+3}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Sur \intervFF{1}{2}, on a : $-x^2+2x-5\leqslant0$.

Le discriminant de $-x^2+2x-5$ est : $\Delta=4-4\times(-1)\times(-5)=-16<0$ donc $-x^2+2x-5$ est toujours du signe de $-1$, donc toujours négatif.

Ainsi, \intervFF{1}{2} est inclus dans l'ensemble solution.

\item Sur \intervOF{-\infty}{1} et sur \intervFO{2}{+\infty}, on a : $x^2-4x-1\leqslant0$.

Le discriminant de $x^2-4x-1$ est : $\Delta=16+4=20$. Il y a donc deux racines : $\alpha=\dfrac{4-\sqrt{20}}{2}=2-2\sqrt{5}<1$ et $\beta=2+2\sqrt{5}>2$. Donc $\alpha$ et $\beta$ sont dans les intervalles \intervOF{-\infty}{1} et sur \intervFO{2}{+\infty}.

Ainsi, $x^2-4x-1\leqslant0$ sur \intervFF{\alpha}{1} et sur \intervFF{2}{\beta}.
\end{itemize}

Par conséquent, l'ensemble solution de l'inéquation $f(x)\leqslant x+3$ est :
\[
\mathscr{S}=\intervFF{2-2\sqrt{5}}{2+2\sqrt{5}}.
\]
\end{enumerate}