\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
|x-1|=6 & \Longleftrightarrow x-1=6 \text{ ou }x-1=-6\\
& \Longleftrightarrow x=7\text{ ou }x=-5
\end{aligned}$

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathscr{S}=\{-5~;~7\}}$.

\medskip

\item $|x+2|=-3$. Une valeur absolue est toujours positive ou nulle donc l'ensemble solution est : $\boxed{\mathscr{S}=\varnothing}$.

\medskip

\item $\begin{aligned}[t]
|2x+3|=5 & \Longleftrightarrow 2x+3=5\text{ ou } 2x+3=-5\\
& \Longleftrightarrow 2x=2\text{ ou } 2x=-8\\
& \Longleftrightarrow x=1\text{ ou } x=-4
\end{aligned}$

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathscr{S}=\{-4~;~1\}}$.

\medskip

\item $\begin{aligned}[t]
|3x-1|=|4x+2| & \Longleftrightarrow 3x-1=4x+2\text{ ou }3x-1=-(4x+2)\\
& \Longleftrightarrow -1-2=4x-3x\text{ ou } 7x=-1\\
& \Longleftrightarrow  x=-3\text{ ou } x=-\dfrac{1}{7}
\end{aligned}$

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathscr{S}=\left\{-3~;-\dfrac{1}{7}\right\}}$.

\medskip

\item $\begin{aligned}[t]
|5x-3|=|2x+1| & \Longleftrightarrow 5x-3=2x+1\text{ ou }5x-3=-2x-1\\
& \Longleftrightarrow 3x=4\text{ ou } 7x=2\\
& \Longleftrightarrow x=\dfrac{4}{3}\text{ ou } x=\dfrac{2}{7}
\end{aligned}$

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{2}{7}~;~\dfrac{4}{3}\right\}}$.

\medskip

\item $\begin{aligned}[t]
|x^2-3|=1 & \Longleftrightarrow x^2-3=1\text{ ou } x^2-3=-1\\
& \Longleftrightarrow x^2=4\text{ ou } x^2=2\\
& \Longleftrightarrow x=2\text{ ou } x=-2\text{ ou }x=\sqrt{2}\text{ ou } x=-\sqrt{2}
\end{aligned}$

L'ensemble solution est donc $\boxed{\mathscr{S}=\big\{-2~;~-\sqrt{2}~;\sqrt{2}~;2\big\}}$.
\end{enumerate}