\begin{enumerate}
\item Nous allons faire une disjonction de cas sur $x-y$ afin d'enlever les valeurs absolues.
\begin{itemize}
\item Si $x-y>0$ (c'est-�-dire si $y<x$), alors $|x-y|=1 \iff x-y=1 \iff y=x-1$.

La condition de d�part sur $y$ (qui est $y<x$) est bien remplie car $x-1<x$ pour tout $x$. Donc l'ensemble des points cherch� est la droite $\mathscr{D}$ d'�quation $y=x-1$.

\medskip

\item Si $x-y<0$ (c'est-�-dire si $y>x$), $|x-y|=1 \iff -(x-y)=1 \iff y=x+1$.

La condition de d�part sur $y$ (qui est $y>x$) est bien remplie car $x+1<x$ pour tout $x$. Donc l'ensemble des points cherch� est la droite $\mathscr{D}^\prime$ d'�quation $y=x+1$.
\end{itemize}

Au final, l'ensemble des points est donc la r�union de ces deux ensembles : $\boxed{\mathscr{S}=\mathscr{D}\cup\mathscr{D}^\prime}$.

\newpage

\item Il est ici n�cessaire de faite une disjonction de cas sur $x$ et $y$.
\begin{itemize}
\item Si $x>0$ :
\begin{itemize}
\item[--] Si $y>0$, alors $2|x|+|y|=3 \iff 2x+y=3 \iff y=-2x+3$.

L'ensemble des points v�rifiant $2|x|+|y|=3$ est donc la partie de la droite $(d_1)$ o� $x>0$ et $y>0$ (repr�sent�e en \textcolor{blue}{bleu} ci-dessous).

\item[--] Si $y<0$, alors $2|x|+|y|=3 \iff 2x-y=3 \iff y=2x-3$.

L'ensemble des points v�rifiant $2|x|+|y|=3$ est donc la partie de la droite $(d_2)$ o� $x>0$ et $y<0$ (repr�sent�e en \textcolor{red}{rouge} ci-dessous).
\end{itemize}

\medskip

\item Si $x<0$ :
\begin{itemize}
\item[--] Si $y>0$, alors $2|x|+|y|=3 \iff -2x+y=3 \iff y=-2x+3$.

L'ensemble des points v�rifiant $2|x|+|y|=3$ est donc la partie de la droite $(d_3)$ o� $x<0$ et $y>0$ (repr�sent�e en \textcolor{purple}{violet} ci-dessous).

\item[--] Si $y<0$, alors $2|x|+|y|=3 \iff -2x-y=3 \iff y=-2x-3$.

L'ensemble des points v�rifiant $2|x|+|y|=3$ est donc la partie de la droite $(d_4)$ o� $x<0$ et $y<0$ (repr�sent�e en \textcolor{green!50!black}{vert} ci-dessous).
\end{itemize}
\end{itemize}

L'ensemble solution est donc l'ensemble des points repr�sent� ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[dotted,gray] (-2,-3) grid[xstep=0.5,ystep=1] (2,3);
\draw[thick,->] (-2,0) -- (2,0);
\draw[thick,->] (0,-3) -- (0,3);
\draw[thick,blue] (0,3) -- (1.5,0) node[midway,above right] {$(d_1)$}; 
\draw[thick,red] (0,-3) -- (1.5,0) node[midway,below right] {$(d_2)$};
\draw[thick,purple] (0,3) -- (-1.5,0) node[midway,above left] {$(d_3)$};
\draw[thick,green!50!black] (0,-3) -- (-1.5,0) node[midway,below left] {$(d_4)$};
\draw[thick] (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left] {1};
\draw[thick] (0.5,0.1) -- (0.5,-0.1) node[below] {1};
\node[below left] at (0,0) {O};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $|x+y|+|x-y|=1$.
\begin{itemize}
\item Si $x+y>0$ (donc si $y>-x$) :
\begin{itemize}
\item[--] Si $x-y>0$ (donc si $y<x$), $|x+y|+|x-y|=1 \iff x+y+x-y=1 \iff \textcolor{blue}{x=\dfrac{1}{2}}$.
\item[--] Si $x-y<0$ (donc si $y>x$), $|x+y|+|x-y|=1 \iff x+y-x+y=1 \iff \textcolor{red}{y=\dfrac{1}{2}}$.
\end{itemize}

\medskip

\item Si $x+y<0$ (donc si $y<-x$) :
\begin{itemize}
\item[--] Si $x-y>0$ (donc si $y<x$), $|x+y|+|x-y|=1 \iff -x-y+x-y=1 \iff \textcolor{purple}{y=-\dfrac{1}{2}}$.
\item[--] Si $x-y<0$ (donc si $y>x$), $|x+y|+|x-y|=1 \iff -x-y-x+y=1 \iff \textcolor{green!50!black}{x=-\dfrac{1}{2}}$.
\end{itemize}
\end{itemize}

\newpage

L'ensemble des points M\coord{x}{y} v�rifiant $|x+y|+|x-y|=1$ est donc l'ensemble repr�sent� ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=4]
\draw[dotted,gray] (-1,-1) grid[step=0.25] (1,1);
\draw[thick,->] (-1,0) -- (1,0);
\draw[thick,->] (0,-1) -- (0,1);
\draw (-1,-1) -- (1,1) node[right] {$y=x$};
\draw (-1,1) -- (1,-1) node[right] {$y=-x$};
\draw[very thick,blue] (0.5,0.5) -- (0.5,-0.5); 
\draw[very thick,red] (0.5,0.5) -- (-0.5,0.5);
\draw[very thick,purple] (0.5,-0.5) -- (-0.5,-0.5);
\draw[very thick,green!50!black] (-0.5,-0.5) -- (-0.5,0.5);
\draw[thick] (0.05,0.25) -- (-0.05,0.25) node[left] {$\frac{1}{4}$};
\draw[thick] (0.25,0.05) -- (0.25,-0.05) node[below] {$\frac{1}{4}$};
\node[below left] at (0,0) {O};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $|2x+3y|+|-5x+y|=2$. 
\begin{itemize}
\item Si $2x+3y>0$ (soit si $y<\dfrac{2}{3}x$), on se trouve sous la droite d'�quation $y=\dfrac{2}{3}x$.
\begin{itemize}
\item[--] Si $-5x+y>0$ (soit si $y<-5x$), on se trouve sous la droite d'�quation $y=-5x$ donc en combinant les conditions $y<\dfrac{2}{3}x$ et $y<-5x$, on se trouve dans la partie color�e suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.2]
\draw[dotted,gray] (-30,-20) grid[step=5] (30,20);
\draw[thick,->] (-30,0) -- (30,0);
\draw[thick,->] (0,-20) -- (0,20);
\fill[opacity=0.2,blue] (-30,-20) -- (0,0) -- (4,-20) -- cycle;
\draw[thick] (5,0.5) -- (5,-0.5) node[below] {5};
\draw[thick] (0.5,5) -- (-0.5,5) node[left] {5};
\draw plot[domain=-30:30] (\x,{2*\x/3}) node[right] {$y=\frac{2}{3}x$};
\draw plot[domain=-4:4.5] (\x,{-5*\x}) node[right] {$y=-5x$};
\node[below left] at (0,0) {O};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Si $2x+3y>0$ et $-5x+y>0$, 

alors $|2x+3y|+|-5x+y|=2 \iff -3x+4y=2 \iff y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}$.

L'ensemble solution est donc la partie de la droite d'�quation $y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}$ comprise dans cette partie color�e du plan :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.2]
\draw[dotted,gray] (-30,-20) grid[step=5] (30,20);
\draw[thick,->] (-30,0) -- (30,0);
\draw[thick,->] (0,-20) -- (0,20);
\fill[opacity=0.2,blue] (-30,-20) -- (0,0) -- (4,-20) -- cycle;
\draw[thick] (5,0.5) -- (5,-0.5) node[below] {5};
\draw[thick] (0.5,5) -- (-0.5,5) node[left] {5};
\draw plot[domain=-30:30] (\x,{2*\x/3}) node[right] {$y=\frac{2}{3}x$};
\draw plot[domain=-4:4.5] (\x,{-5*\x}) node[right] {$y=-5x$};
\node[below left] at (0,0) {O};
%
\clip (-30,-20) -- (0,0) -- (4,-20) -- cycle;
\draw[very thick,red] plot[domain=-30:30] (\x,{3*\x/4+0.5});
\end{tikzpicture}
\end{center}


\item[--] Si $-5x+y<0$ (soit si $y>-5x$), on se trouve au-dessus de la droite d'�quation $y=-5x$ donc en combinant les conditions $y<\dfrac{2}{3}x$ et $y>-5x$, on se trouve dans la partie color�e suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.2]
\draw[dotted,gray] (-30,-20) grid[step=5] (30,20);
\draw[thick,->] (-30,0) -- (30,0);
\draw[thick,->] (0,-20) -- (0,20);
\fill[opacity=0.2,yellow] (4,-20) -- (0,0) -- (30,20) -- (30,-20) -- cycle;
\draw[thick] (5,0.5) -- (5,-0.5) node[below] {5};
\draw[thick] (0.5,5) -- (-0.5,5) node[left] {5};
\draw plot[domain=-30:30] (\x,{2*\x/3}) node[right] {$y=\frac{2}{3}x$};
\draw plot[domain=-4:4.5] (\x,{-5*\x}) node[right] {$y=-5x$};
\node[below left] at (0,0) {O};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Si $2x+3y>0$ et $-5x+y<0$, 

alors $|2x+3y|+|-5x+y|=2 \iff 7x+2y=2 \iff y=-\dfrac{7}{2}x+1$.

\newpage

L'ensemble solution est donc la partie de la droite d'�quation $y=-\dfrac{7}{2}x+1$ comprise dans cette partie color�e du plan :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.2]
\draw[dotted,gray] (-30,-20) grid[step=5] (30,20);
\draw[thick,->] (-30,0) -- (30,0);
\draw[thick,->] (0,-20) -- (0,20);
\fill[opacity=0.2,yellow] (4,-20) -- (0,0) -- (30,20) -- (30,-20) -- cycle;
\draw[thick] (5,0.5) -- (5,-0.5) node[below] {5};
\draw[thick] (0.5,5) -- (-0.5,5) node[left] {5};
\draw plot[domain=-30:30] (\x,{2*\x/3}) node[right] {$y=\frac{2}{3}x$};
\draw plot[domain=-4:4.5] (\x,{-5*\x}) node[right] {$y=-5x$};
\node[below left] at (0,0) {O};
%
\clip (4,-20) -- (0,0) -- (30,20) -- (30,-20) -- cycle;
\draw[very thick,red] plot[domain=-30:30] (\x,{-7*\x/2+1});
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}


\item Si $2x+3y<0$ (soit si $y>\dfrac{2}{3}x$), on se trouve au-dessus de la droite d'�quation $y=\dfrac{2}{3}x$.

\begin{itemize}
\item[--] Si $-5x+y>0$ (soit si $y<-5x$), on se trouve sous la droite d'�quation $y=-5x$ donc en combinant les conditions $y>\dfrac{2}{3}x$ et $y<-5x$, on se trouve dans la partie color�e suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.2]
\draw[dotted,gray] (-30,-20) grid[step=5] (30,20);
\draw[thick,->] (-30,0) -- (30,0);
\draw[thick,->] (0,-20) -- (0,20);
\fill[opacity=0.2,orange] (-30,-20) -- (0,0) -- (-4,20) -- (-30,20) -- cycle;
\draw[thick] (5,0.5) -- (5,-0.5) node[below] {5};
\draw[thick] (0.5,5) -- (-0.5,5) node[left] {5};
\draw plot[domain=-30:30] (\x,{2*\x/3}) node[right] {$y=\frac{2}{3}x$};
\draw plot[domain=-4:4.5] (\x,{-5*\x}) node[right] {$y=-5x$};
\node[below left] at (0,0) {O};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Si $2x+3y<0$ et $-5x+y>0$, 

alors $|2x+3y|+|-5x+y|=2 \iff -7x-2y=2 \iff y=-\dfrac{7}{2}x-1$.

\newpage

L'ensemble solution est donc la partie de la droite d'�quation $y=-\dfrac{7}{2}x-1$ comprise dans cette partie color�e du plan :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.2]
\draw[dotted,gray] (-30,-20) grid[step=5] (30,20);
\draw[thick,->] (-30,0) -- (30,0);
\draw[thick,->] (0,-20) -- (0,20);
\fill[opacity=0.2,orange] (-30,-20) -- (0,0) -- (-4,20) -- (-30,20) -- cycle;
\draw[thick] (5,0.5) -- (5,-0.5) node[below] {5};
\draw[thick] (0.5,5) -- (-0.5,5) node[left] {5};
\draw plot[domain=-30:30] (\x,{2*\x/3}) node[right] {$y=\frac{2}{3}x$};
\draw plot[domain=-4:4.5] (\x,{-5*\x}) node[right] {$y=-5x$};
\node[below left] at (0,0) {O};
%
\clip (-30,-20) -- (0,0) -- (-4,20) -- (-30,20) -- cycle;
\draw[very thick,red] plot[domain=-30:30] (\x,{-7*\x/2-1});
\end{tikzpicture}
\end{center}


\item[--] Si $-5x+y<0$ (soit si $y>-5x$), on se trouve au-dessus de la droite d'�quation $y=-5x$ donc en combinant les conditions $y>\dfrac{2}{3}x$ et $y>-5x$, on se trouve dans la partie color�e suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.2]
\draw[dotted,gray] (-30,-20) grid[step=5] (30,20);
\draw[thick,->] (-30,0) -- (30,0);
\draw[thick,->] (0,-20) -- (0,20);
\fill[opacity=0.2,purple] (-4,20) -- (0,0) -- (30,20) -- cycle;
\draw[thick] (5,0.5) -- (5,-0.5) node[below] {5};
\draw[thick] (0.5,5) -- (-0.5,5) node[left] {5};
\draw plot[domain=-30:30] (\x,{2*\x/3}) node[right] {$y=\frac{2}{3}x$};
\draw plot[domain=-4:4.5] (\x,{-5*\x}) node[right] {$y=-5x$};
\node[below left] at (0,0) {O};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Si $2x+3y<0$ et $-5x+y<0$, 

alors $|2x+3y|+|-5x+y|=2 \iff 3x-4y=2 \iff y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac12$.

\newpage

L'ensemble solution est donc la partie de la droite d'�quation $y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac12$ comprise dans cette partie color�e du plan :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.2]
\draw[dotted,gray] (-30,-20) grid[step=5] (30,20);
\draw[thick,->] (-30,0) -- (30,0);
\draw[thick,->] (0,-20) -- (0,20);
\fill[opacity=0.2,purple] (-4,20) -- (0,0) -- (30,20) -- cycle;
\draw[thick] (5,0.5) -- (5,-0.5) node[below] {5};
\draw[thick] (0.5,5) -- (-0.5,5) node[left] {5};
\draw plot[domain=-30:30] (\x,{2*\x/3}) node[right] {$y=\frac{2}{3}x$};
\draw plot[domain=-4:4.5] (\x,{-5*\x}) node[right] {$y=-5x$};
\node[below left] at (0,0) {O};
%
\clip (-4,20) -- (0,0) -- (30,20) -- cycle;
\draw[very thick,red] plot[domain=-30:30] (\x,{3*\x/4-0.5});
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{itemize}
\end{itemize}


Finalement, l'ensemble des points M\coord{x}{y} v�rifiant l'�quation $|2x+3y|+|-5x+y|=2$ est l'ensemble repr�sent� en rouge ci-dessous, constitu� de quatre demi-droites :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.2]
\draw[dotted,gray,opacity=0.5] (-30,-20) grid[step=5] (30,20);
\draw[thick,->] (-30,0) -- (30,0);
\draw[thick,->] (0,-20) -- (0,20);
\draw[thick] (5,0.5) -- (5,-0.5) node[below] {5};
\draw[thick] (0.5,5) -- (-0.5,5) node[left] {5};
\draw[gray,opacity=0.5] plot[domain=-30:30] (\x,{2*\x/3}) node[right] {$y=\frac{2}{3}x$};
\draw[gray,opacity=0.5] plot[domain=-4:4.5] (\x,{-5*\x}) node[right] {$y=-5x$};
\node[below left] at (0,0) {O};
%
\begin{scope}
\clip (-30,-20) -- (0,0) -- (4,-20) -- cycle;
\draw[very thick,red] plot[domain=-30:30] (\x,{3*\x/4+0.5});
\end{scope}
%
\begin{scope}
\clip (4,-20) -- (0,0) -- (30,20) -- (30,-20) -- cycle;
\draw[very thick,red] plot[domain=-30:30] (\x,{-7*\x/2+1});
\end{scope}
%
\begin{scope}
\clip (-30,-20) -- (0,0) -- (-4,20) -- (-30,20) -- cycle;
\draw[very thick,red] plot[domain=-30:30] (\x,{-7*\x/2-1});
\end{scope}
%
\begin{scope}
\clip (-4,20) -- (0,0) -- (30,20) -- cycle;
\draw[very thick,red] plot[domain=-30:30] (\x,{3*\x/4-0.5});
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}