
\sectionnn{Suites arithmético-géométriques}

\exercice[style=R,N=3]{\'Etude d'une suite arithmético-géométrique avec algorithme}

On considère la suite \suite{u}{n}{n\geqslant0} définie par la relation de récurrence :
\[
\begin{cases}
u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+3\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item \suite{u}{n}{n\geqslant0} est-elle une suite arithmétique ? Une suite géométrique ?
\end{enumerate}

\medskip

On considère la suite \suite{v}{n}{n\geqslant0} définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[ v_n=u_n-\dfrac{9}{2} .\]

\begin{enumerate}[start=3]
\item Montrer que \suite{v}{n}{n\geqslant0} est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
\item En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis une expression de $u_n$ en fonction de $n$.

\newpage

\item On donne l'algorithme suivant :

\begin{algo}{}
\begin{algoinit}
Affecter à U la valeur 1\\
Affecter à i la valeur 0\\
Saisir la valeur de N
\end{algoinit}
\begin{algobody}
\begin{algowhile}{i<N}
Affecter à i la valeur i+1\\
Affecter à U la valeur U/3+3
\end{algowhile}
\end{algobody}
\begin{algoend}
Afficher U
\end{algoend}
\end{algo}
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide d'un tableau (par exemple), exécuter cet algorithme pour $N=3$.
\item Que permet de faire cet algorithme ?
\item \`A l'aide de votre calculatrice, donner la valeur qu'affiche cet algorithme pour N=10, N=20 et N=30.

Que peut-on conjecturer ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}