\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{2^n}{5}$.
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n 
& = \dfrac{2^{n+1}}{5}-\dfrac{2^n}{5}\\
& = \dfrac{2^{n+1}-2^n}{5}\\
& = \dfrac{2^n\times2^1-2^n\times1}{5}\\
& = \dfrac{2^n(2^1-1)}{5}\\
& = \dfrac{2^n}{5}\\
u_{n+1}-u_n & >0
\end{align*}
\underline{Ainsi, \suite{u}{n}{} est croissante.}

\item $u_n=-n^2+5n-2$.
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n 
& = -(n+1)^2+5(n+1)-2-(-n^2+5n-2)\\
& = -(n^2+2n+1)+5n+5-2+n^2-5n+2\\
& = -n^2-2n-1+5n+5-2+n^2-5n+2\\
& = -2n+4
\end{align*}
$-2n+4>0 \iff -2n>-4 \iff n<2$ donc $u_{n+1}-u_n<0$ pour $n\geqslant2$.

\underline{La suite \suite{u}{n}{}est donc décroissante à partir du rang 2.}

\item $u_n=\sqrt{n^2+3}$.
\begin{align*}
u_{n+1}-u_n
& = \sqrt{(n+1)^2+3}-\sqrt{n^2+3}\\
& = \sqrt{n^2+2n+4}-\sqrt{n^2+3}
\end{align*}
Or, $n^2+4>n^2+3$ donc $n^2+2n+4>n^2+3$ (car $n\geqslant0$), donc $u_{n+1}-u_n>0$.

\underline{Ainsi, la suite \suite{u}{n}{} est croissante.}

\item $u_0=3$ et $u_{n+1}=u_n-5$.

$u_{n+1}-u_n=u_n-5-u_n=-5<0$ donc \underline{\suite{u}{n}{} est décroissante.}
\end{enumerate}