\exercice[style=R,N=4]{Le débit de l'eau, le débit de lait}

Léonard achète deux bidons de 100 litres : un dans lequel il met de l'eau, l'autre dans lequel il met du lait.

Chaque jour, il consomme \pourcent{30} de la quantité de lait et \pourcent{50} de la quantité d'eau qu'il y avait le jour précédent. Tous les soir avant de se coucher, il ajoute 10 litres de lait dans le bidon de lait et 20 litres d'eau dans le bidon d'eau après .

On note $e_n$ la quantité d'eau et $\ell_n$ la quantité de lait (en litres) au $n$-ième jour après les ajouts d'eau et de lait. On a ainsi $e_0=100$ et $\ell_0=100$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $e_1$ et $\ell_1$.
\item Déterminer les relations de récurrence des suites \suite{e}{n}{} et \suite{\ell}{n}{}.
\item On pose $u_n=e_n-40$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{u}{n}{} est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item En déduire le terme général de \suite{u}{n}{} en fonction de $n$, puis celui de \suite{e}{n}{}.
\end{enumerate}

\item On pose $v_n=\ell_n-\dfrac{100}{3}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{v}{n}{} est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item En déduire le terme général de \suite{v}{n}{} en fonction de $n$, puis celui de \suite{\ell}{n}{}.
\end{enumerate}
\item Calculer alors $e_{365}$ et $\ell_{365}$ d'une part, $e_{730}$ et $\ell_{730}$. Que peut-on remarquer et alors conjecturer ?
\end{enumerate}