\exercice[style=R,N=4]{Suite homographique et suite arithmétique}

On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par son premier terme $u_0=3$ et par la relation de récurrence suivante :
\[
\forall~n~\in\N,\quad u_{n+1}=1-\dfrac{1}{4u_n}.
\]
On pose alors pour tout entier naturel $n$, 
\[ 
v_n=\dfrac{1}{u_n-0,5}.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{v}{n}{} est une suite arithmétique dont on donnera la raison et le premier terme.
\item En déduire le terme général de \suite{v}{n}{} puis celui de \suite{u}{n}{} en fonction de $n$.
\item À l'aide d'un tableur, de votre calculatrice ou tout simplement de votre cerveau, vers quel nombre se rapproche $u_n$ lorsque $n$ augmente de plus en plus ?
\end{enumerate}