
\begin{itemize}
\item $x$ désigne a priori la longueur du rectangle hachuré. On voit alors que $x\in\intervFF{0}{6}$.

\item Notons $h$ la largeur du rectangle ; d'après le théorème de Thalès,
\[
\dfrac{6-x}{6}=\dfrac{h}{8}
\]
donc 
\[
h=\dfrac{8(6-x)}{6}=\dfrac{24-4x}{3}=8-\dfrac{4}{3}x.
\]

L'aire du rectangle hachuré est alors :
\[
a(x)=-\dfrac{4}{3}x^2+8x=x\left(8-\dfrac{4}{3}x\right).
\]

$a$ est donc un polyn\^ome de degré 2 dont la courbe représentative est une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas (car le coefficient de $x^2$ est négatif).

Par conséquent, le maximum de $a$ est atteint pour $x=-\dfrac{8}{2\times\left(-\frac{4}{3}\right)}=3$.

\underline{L'aire du rectangle hachuré est donc optimale pour $x=3$.}
\end{itemize}
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