\begin{enumerate}
\item Notons $y$ la largeur d'une face de la bo\^ite  :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\filldraw[pattern={north east lines},pattern color=violet] (0,1.5) -- (4.5,1.5) -- (4.5,0) -- (7.5,0) -- (7.5,1.5) -- (9,1.5) -- (9,7.5) -- (7.5,7.5) -- (7.5,9) -- (4.5,9) -- (4.5,7.5) -- (0,7.5) -- cycle;
\draw (0,0) rectangle (9,9);
\draw (0,1.5) -- (9,1.5);
\draw (0,7.5) -- (9,7.5);
\draw[dashed] (3,1.5) -- (3,7.5);
\draw[dashed] (4.5,1.5) -- (4.5,7.5);
\draw[dashed] (7.5,1.5) -- (7.5,7.5);
\draw (4.5,0) -- (4.5,1.5);
\draw (4.5,7.5) -- (4.5,9);
\draw (7.5,0) -- (7.5,1.5);
\draw (7.5,7.5) -- (7.5,9);
\draw[<->] (-0.5,0) -- (-0.5,9) node[midway,fill=white] {4 m};
\draw[<->] (0,-0.5) -- (9,-0.5) node[midway,fill=white] {4 m};
\draw[<->] (3,1) -- (4.5,1) node[midway,fill=white] {$x$};
\draw[<->] (8,0) -- (8,1.5) node[midway,fill=white] {$x$};
\draw[<->] (0,8) -- (3,8) node[midway,fill=white] {$y$};
\draw[<->] (9.5,1.5) -- (9.5,7.5) node[midway,right] {$4-2x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Alors,
\[ 
y+x+y+x=4\;,
\]
soit :
\[ 
y=2-x.
\]

Le volume de la bo\^ite est alors  :

\begin{align*}
f(x) & = x\times (4-2x)\times y\\
\Aboxed{f(x) & = 2x(2-x)^2}
\end{align*}

\item $f(x)=2x(4-4x+x^2)=2x^3-8x^2+8x$.

Ainsi, $f'(x)=6x^2-16x+8$, dont le discriminant est $\Delta=16^2-4\times6\times8=64$. $f'(x)$ admet donc deux racines : $\alpha=\dfrac{16-\sqrt{64}}{12}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$ et $\beta=\dfrac{16+8}{12}=2$. On a alors :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=violet!20,colorV=violet!20,colorL=violet!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{0,$\frac{2}{3}$,2}
\tkzTabLine{,+,z,-,z}
\tkzTabVar{-/,+/,-/}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Notons que $x$ ne peut pas dépasser la valeur 2 car il faut que $4-2x\geqslant0$, soit $2x\leqslant4$, d'où $x\leqslant2$.

\medskip

Le maximum de $f$ est atteint en $x=\dfrac{2}{3}$ (exprimé en mètre).

\underline{Le volume de la bo\^ite est optimal pour $x=67$ cm.}
\end{enumerate}