\exercice[style=R,N=4]{Optimisation du volume d'une bo\^ite}

On souhaite construire une bo\^ite parallélépipédique à partir d'un carton carré de 4 mètres de c\^oté, comme l'illustre le schéma suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,scale=0.5]
\filldraw[pattern={north east lines},pattern color=violet] (0,1.5) -- (4.5,1.5) -- (4.5,0) -- (7.5,0) -- (7.5,1.5) -- (9,1.5) -- (9,7.5) -- (7.5,7.5) -- (7.5,9) -- (4.5,9) -- (4.5,7.5) -- (0,7.5) -- cycle;
\draw (0,0) rectangle (9,9);
\draw (0,1.5) -- (9,1.5);
\draw (0,7.5) -- (9,7.5);
\draw[dashed] (3,1.5) -- (3,7.5);
\draw[dashed] (4.5,1.5) -- (4.5,7.5);
\draw[dashed] (7.5,1.5) -- (7.5,7.5);
\draw (4.5,0) -- (4.5,1.5);
\draw (4.5,7.5) -- (4.5,9);
\draw (7.5,0) -- (7.5,1.5);
\draw (7.5,7.5) -- (7.5,9);
\draw[<->] (-1,0) -- (-1,9) node[midway,fill=white,rotate=90] {4 m};
\draw[<->] (0,-1) -- (9,-1) node[midway,fill=white] {4 m};
\draw[<->] (3,1) -- (4.5,1) node[midway,below,fill=white,outer ysep=4pt,inner ysep=0pt] {$x$};
\draw[<->] (9.5,0) -- (9.5,1.5) node[midway,right,fill=white,outer xsep=5pt] {$x$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

La partie hachurée correspond à la partie du carton qui va \^etre pliée (aux pointillés) pour obtenir la bo\^ite.

\begin{enumerate}
\item Montrer que le volume de la bo\^ite est égal à $f(x)=2x(2-x)^2$.
\item \'Etudier les variations de $f$, puis en déduire la valeur de $x$ (arrondie au centimètre près) pour laquelle le volume de la bo\^ite est optimal.
\end{enumerate}