\exercice[style=R,N=5]{Optimisation du volume d'un c\^one}

On considère la figure suivante :

\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[left] {A} -- (3,10) node[above] {S} -- (6,0) node[right] {B} arc(0:-180:3cm and 0.5cm);
\draw[dashed] (6,0) arc (0:180:3cm and 0.5cm);
\draw[dashed] (3,0) -- (3,10);
\draw[red,dashed] (1,3.33) -- (3,0) node[below] {O} -- (5,3.33) node[above right] {M} arc (0:180:2cm and 0.5cm);
\draw[red] (5,3.33) arc (0:-180:2cm and 0.5cm);
\fill[red] (3,3.33) circle (1pt) node[right] {O'};
\node[below right] at (6,10) {\begin{minipage}{10cm}
SO = 10 cm.

OB = 3 cm.

M est un point mobile sur [SB] tel que MB = $x$ cm.

\medskip

On cherche à déterminer la valeur de $x$ pour laquelle le volume du c\^one de sommet O est optimal. Pour cela, répondre aux questions suivantes :

\begin{enumerate}
\item Calculer SB.
\item Déterminer en fonction de $x$ le rayon de la base ainsi que la hauteur OO' du c\^one de sommet O.

\item En notant $f(x)$ le volume du c\^one de sommet O, montrer que $f(x)=\dfrac{30\pi}{109\sqrt{109}}x\big(\sqrt{109}-x\big)^2$.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{minipage}};
\end{tikzpicture}