\exercice[style=R,N=3]{\'Etude complète de la fonction $x \longmapsto \frac{x\sqrt{x}}{x^2+1}$}

On considère la fonction $f$ définie sur $\intervFO{0}{+\infty}$ par :
\[ 
f(x)=\dfrac{x\sqrt x}{x^2+1}.
\]

On note $\cal C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Rij.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la dérivée de la fonction $f$ est donnée par :
\[ 
f'(x)=\dfrac{\sqrt x(3-x^2)}{2(x^2+1)^2}.
\]
\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$, puis en déduire les variations de $f$ sur $\intervFO{0}{+\infty}$.
\item Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\cal C$ au point d'abscisse 1.
\end{enumerate}